方程式計算機
この計算機を使用すると、線形、二次、または三次方程式をオンラインで解くことができます。計算例は該当するセクションで見つけることができます。
方程式の解法
方程式とは、変数(または未知数)を含む等式のことです。1つの変数 $x$ を含む方程式は、一般的に次のように表されます: $f(x) = g(x)$。
方程式の解(または根)とは、変数にその値を代入すると方程式が正しい数値等式になる値のことです。方程式を解くとは、すべての解を見つけるか、解がないことを証明することです。
計算機で方程式を解く方法: まず、等号 = の前の方程式の部分を入力し、ボタン x=y を押します。次に、残りの部分を入力し、ボタン = を押して計算を実行します。例えば、方程式 $2x - 4 = 0$ の解は $x = 2$ です。この結果は、方程式計算機を使用して次のように得られました:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
線形方程式
1つの未知数を含む線形方程式は、次の形式の方程式のことです:
$$ax + b = 0,$$
ここで、
- $x$ は未知数、
- $a$ は未知数の係数、
- $b$ は定数項です。
線形方程式は、最も簡単な代数方程式の一種で、その解は基本的な算術演算の実行に帰着します。
解の例:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
二次方程式
二次方程式とは、次の形式の方程式のことです:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
計算機を使った二次方程式の解法:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
係数の関係
係数間に特定の関係がある二次方程式があり、その場合はこの種の方程式をずっと簡単に解くことができます。
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
このような方程式の解は、通常の計算機を使っても求められます。
判別式
判別式は二次方程式の解を求めるために使用されます。判別式の計算式は次のとおりです:
$$D = b^2 - 4ac$$
判別式を使った解の計算式は次のとおりです:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
$D > 0$ の場合、方程式には2つの異なる解があります。例:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
$D = 0$ の場合、方程式には1つの解があります(または2つの同じ解があります)。例:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
$D < 0$ の場合、方程式には実数の範囲内に解がありません:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
ヴィエートの定理
ヴィエートの定理は、二次方程式の解 $x_1, x_2$ とその係数 $a, b, c$ との間の簡単な代数的関係(ヴィエートの公式)を確立しています。これらの公式を使用すると、係数が分かれば解を求めることができ、解が分かれば係数を計算することができます。
ヴィエートの公式:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
二重二次方程式
二重二次方程式とは、次の形式の方程式のことです:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
$x^2$ を $y \ (y \ge 0)$ に置き換えると、二次方程式になり、その解 $y_1, y_2$ を求めることができます。二重二次方程式の解は次のように求められます:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
三次方程式
三次方程式とは、次の形式の方程式のことです:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
解の例:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
三次方程式を $a$ で割り、$x$ を $y - \frac {b} {3a}$ に置き換えると、方程式は次のより簡単な形式になります:
$$y^3 + py + q = 0,$$
ここで、
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
カルダノの公式
三次方程式が次の形式の場合:
$$y^3 + py + q = 0,$$
その方程式の解を求めるには、カルダノの公式を適用することができます:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$