積分計算機

この計算機を使えば、不定積分または定積分を計算できます。計算例は対応するセクションで見つけることができます。

基本的な積分の一部は、積分表から導関数を直接見つけることができます。

不定積分

関数 $f(x)$ の不定積分とは、その導関数が $f(x)$ に等しい関数 $F(x)$ のことです。つまり、$F^{\prime}(x) = f(x)$ です。不定積分の導出は微分の逆演算です。

$F(x)$ が $f(x)$ の不定積分である場合、関数 $F(x) + C$ (ここで $C$ は任意の定数) も $f(x)$ の不定積分です。

関数 $f(x)$ の不定積分とは、その関数のすべての不定積分の集合のことです。これは次のように表されます。

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

ここで

積分を見つける操作は積分と呼ばれます。

不定積分の主な性質は次のとおりです。

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

以下は不定積分の計算例です。積分計算機でこれらの計算を行うには、各例の下に示されたボタンを順に押す必要があります。注: コンピューターのキーボードを使って、計算機の画面の下の空欄に int と入力してください。

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

基本的な不定積分とその不定積分の表:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

$F(x)$ が関数 $f(x)$ の不定積分であり、その関数が区間 $[a;b]$ で定義され連続である場合、定積分は次の式で計算されます。

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

定積分の主な性質は次のとおりです。

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

以下は定積分の計算例です。これらの計算を計算機で実行するには、各例の下に示されたボタンを順に押す必要があります。注: コンピューターのキーボードを使って、計算機の画面の下の空欄に int と入力してください。

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =