行列計算機
このカルキュレータを使えば、行列の加算、減算、乗算、および行列式の計算ができます。必要な計算を実行するには、該当するセクションの例の下にある指示に従って順番にボタンを押してください。
行列の転置は、カルキュレータを使わなくても、詳しい手順に従えば簡単に行えます。
数学における行列とは
行列とは、$m$行 $n$列の長方形の表で、数値、記号、または式などの要素で構成されています。各行列の要素は、特定の行と列の交点に位置しています。
行列は通常大文字で表され、例えば $A$ のように表記されます。個々の行列要素は、添字を使って表されます。例えば、$a_{12}$ は1行目2列目の要素を示します。
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
行列のサイズは $m \times n$ と表されます。例えば、サイズ $3 \times 4$ の行列は3行4列を持ちます。行列の要素の個数は、$m$ と $n$ を掛けて求めることができます。電卓を使えば、$3 \cdot 4 = 12$ のように計算できます。
行列の加算と減算
行列の加算と減算は、対応する要素を加算または減算する操作です。この際、行列のサイズが同じ、つまり行数と列数が同じである必要があります。
行列の加算の例:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
行列の減算の例:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
行列の乗算
2つの行列の乗算は、新しい行列（行列の積）を計算する操作です。この行列の各要素は、第1行列の対応する行の要素と第2行列の対応する列の要素の積の和に等しくなります。行列の乗算を行うには、第1行列の列数と第2行列の行数が等しくなければなりません。
行列の乗算の例:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
行列式
行列式 ($det(A)$ または $|A|$) は、正方行列の性質を特徴付ける値です。
行列式の計算例 (det はカルキュレーターの空白欄にコンピューターのキーボードから入力してください):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
行列の転置
転置とは、行と列を入れ替える操作です。つまり、行が列になり、列が行になります。元の行列を $A$ とすると、転置された行列は $A^T$ と表されます。もし元の行列 $A$ のサイズが $m \times n$ であれば、転置された行列 $A^T$ のサイズは $n \times m$ になります。
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
転置行列 $A^T$ を求めるには、元の行列 $A$ の行と列を入れ替えます。そのためには、以下の手順を実行します。
$a_{11}$ から $a_{1n}$ までの第1行の要素を取り、それらを転置行列 $A^T$ の第1列として記入します:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
$a_{21}$ から $a_{2n}$ までの第2行の要素を取り、それらを $A^T$ の第2列として記入します:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
この手順を繰り返し、$A$ のすべての行を $A^T$ の列として記入します:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
このようにして、転置行列 $A^T$ の要素 $a^T_{ij}$ は、元の行列 $A$ の要素 $a_{ji}$ に対応します。
行列の転置の例:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$