Теңдеулер калькуляторы
Бұл калькулятор көмегімен сіз сызықтық, квадраттық немесе кубтық теңдеуді онлайн шеше аласыз. Есептеу мысалдарын тиісті бөлімнен таба аласыз.
Теңдеулерді шешу
Теңдеу деп өзгермелісі (немесе белгісізі) бар теңдікті айтады. Бір $x$ өзгермелісі бар теңдеу жалпы жағдайда келесідей жазылады: $f(x) = g(x)$.
Теңдеудің шешімі (немесе түбірі) деп өзгермелі мәнінің теңдеуді дұрыс сандық теңдіктен айналдыратын мәнін айтады. Теңдеуді шешу барлық шешімдерін табу немесе олардың жоқ екендігін дәлелдеу деген сөз.
Теңдеуді калькуляторда шешу үшін алдымен = белгісіне дейінгі теңдеу бөлігін енгізіңіз, x=y батырмасын басыңыз, қалған теңдеу бөлігін енгізіңіз, есептеу жүргізу үшін = батырмасын басыңыз. Мысалы, $2x - 4 = 0$ теңдеуінің түбірі $x = 2$ болып табылады. Міне, бұл нәтиже теңдеулер калькуляторы көмегімен қалай алынғанын:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Сызықтық теңдеулер
Бір белгісізі бар сызықтық теңдеу мынадай түрде болады:
$$ax + b = 0,$$
мұндағы
- $x$ - белгісіз,
- $a$ - белгісіздің коэффициенті,
- $b$ - теңдеудің еркін мүшесі.
Сызықтық теңдеулер алгебралық теңдеулердің ең қарапайым түрі болып табылады және оларды шешу қарапайым арифметикалық амалдарды орындауға келіп тіреледі.
Шешу мысалдары:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Квадраттық теңдеулер
Квадраттық теңдеу деп мынадай түрдегі теңдеуді айтады:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Квадраттық теңдеулерді калькуляторда шешу:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Коэффициенттердің қатынастары
Мұндай теңдеулерді әлдеқайда оңай шешуге мүмкіндік беретін коэффициенттер арасындағы қатынастары бар квадраттық теңдеулер бар.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Осындай теңдеулердің түбірлерін қарапайым калькулятор көмегімен табуға болады.
Дискриминант
Дискриминант квадраттық теңдеудің түбірлерін табу үшін қолданылады. Дискриминант формуласы:
$$D = b^2 - 4ac$$
Дискриминантты қолдана отырып, түбірлерді табу формуласы:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Егер $D > 0$ болса, онда теңдеудің екі түрлі түбірі бар. Мысалы:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Егер $D = 0$ болса, онда теңдеудің бір түбірі бар (немесе екі бірдей түбірі бар). Мысалы:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Егер $D < 0$ болса, онда теңдеудің нақты сандар жиынында түбірі жоқ:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Виет теоремасы
Виет теоремасы квадраттық теңдеудің $x_1, x_2$ түбірлері мен оның $a, b, c$ коэффициенттері арасындағы қарапайым алгебралық қатынастарды (Виет формулаларын) орнатады. Бұл формулаларды қолдана отырып, коэффициенттер белгілі болса, түбірлерді табуға немесе түбірлер белгілі болса, коэффициенттерді есептеуге болады.
Виет формулалары:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Биквадраттық теңдеулер
Биквадраттық теңдеу деп мынадай түрдегі теңдеуді айтады:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Егер $x^2$ орнына $y$ $(y \ge 0)$ алмастырса, онда түбірлері $y_1, y_2$ квадраттық теңдеуге айналады. Биквадраттық теңдеудің түбірлері мынадай жолмен табылады:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Кубтық теңдеулер
Кубтық теңдеу деп мынадай түрдегі теңдеуді айтады:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Шешу мысалы:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Кубтық теңдеуді $a$-ға бөліп, $x$ орнына $y - \frac {b} {3a}$ алмастырса, онда ол келесідей қарапайым түрге келеді:
$$y^3 + py + q = 0,$$
мұндағы
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Кардано формуласы
Егер кубтық теңдеу мынадай түрде болса:
$$y^3 + py + q = 0,$$
онда осы теңдеудің түбірлерін табу үшін Кардано формуласын қолдануға болады:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$