Интегралдар есептегіші

Бұл есептегіштің көмегімен сіз анықталмаған немесе анықталған интегралды есептей аласыз. Есептеу мысалдарын тиісті бөлімнен таба аласыз.

Кейбір негізгі интегралдарды есептеудің қажеті жоқ, бастапқы өрісті кестеден бірден таба аласыз.

Бастапқы өріс

$f(x)$ функциясының бастапқы өрісі - бұл өрісі $F^{\prime}(x) = f(x)$ болатын $F(x)$ функциясы, яғни дифференциалдауға кері операция.

Егер $F(x)$ - $f(x)$ функциясының бастапқы өрісі болса, онда $F(x) + C$ функциясы да бастапқы өріс болып табылады, мұндағы $C$ - кез келген тұрақты.

Анықталмаған интеграл

$f(x)$ функциясының анықталмаған интегралы - бұл осы функцияның барлық бастапқы өрістері. Бұл мынадай түрде белгіленеді:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

мұндағы

$\int$ - интеграл белгісі
$f(x)$ - интегралданатын функция
$dx$ - интегралдау элементі
$F(x)$ - бастапқы өріс
$C$ - интегралдау тұрақтысы

Интегралды табу операциясы интегралдау деп аталады.

Қасиеттері

Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Есептеу мысалдары

Төменде анықталмаған интегралдарды есептеу мысалдары келтірілген. Интегралдар есептегішінде мұндай есептеулерді орындау үшін әр мысалдың астында көрсетілген батырмаларға ретпен басу қажет. Ескертпе: компьютеріңіздің пернетақтасын пайдаланып, есептегіштің экраны астындағы бос өрісіне int енгізіңіз.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Интегралдар кестесі

Негізгі анықталмаған интегралдар мен олардың бастапқы өрістерінің кестесі:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Анықталған интеграл

Егер $F(x)$ - $[a;b]$ аралығында анықталған және үздіксіз $f(x)$ функциясының бастапқы өрісі болса, онда анықталған интеграл келесі формула бойынша есептеледі:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Қасиеттері

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Есептеу мысалдары

Төменде анықталған интегралдарды есептеу мысалдары келтірілген. Бұл есептеулерді есептегішпен орындау үшін әр мысалдың астында көрсетілген батырмаларға ретпен басу қажет. Ескертпе: компьютеріңіздің пернетақтасын пайдаланып, есептегіштің экраны астындағы бос өрісіне int енгізіңіз.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =