Матрица калькуляторы
Бұл калькулятордың көмегімен сіз матрицаларды қосып, алып және көбейтіп, сондай-ақ матрицаның анықтауышын есептей аласыз. Қажетті есептеулерді орындау үшін тиісті бөлімдегі мысалдың астындағы нұсқауларды бірізден орындаңыз.
Матрицаны транспондауды калькулятор арқылы емес де, егжей-тегжейлі нұсқаулықты пайдаланып оңай орындай аласыз.
Математикадағы матрица дегеніміз не
Матрица - бұл $m$ қатарлардан және $n$ бағандардан тұратын элементтердің (сандардың, белгілердің немесе өрнектердің) тікбұрышты кестесі. Матрицаның әрбір элементі белгілі бір қатар мен бағанның қиылысында орналасқан.
Матрица әдетте қалың латын әрпімен, мысалы, $A$ белгіленеді. Матрицаның жекелеген элементтері индекстер көмегімен белгіленеді, мысалы, $a_{12}$ – бірінші қатар мен екінші бағанда орналасқан элемент.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Матрицаның өлшемі $m \times n$ түрінде белгіленеді. Мысалы, $3 \times 4$ өлшемді матрицада 3 қатар және 4 баған болады. Матрицадағы элементтер санын анықтау үшін $m$ көбейту $n$ қажет калькулятор: $3 \cdot 4 = 12$.
Матрицаларды қосу және алу
Матрицаларды қосу және алу операциялары кезінде матрицалардың сәйкес элементтері қосылады немесе алынады. Бұл ретте матрицалардың өлшемі бірдей болуы керек, яғни қатарлар мен бағандар саны бірдей болуы қажет.
Матрицаларды қосу мысалы:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Матрицаларды алу мысалы:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Матрицаларды көбейту
Екі матрицаны көбейту - бұл матрицалар көбейтіндісі деп аталатын жаңа матрицаны есептеу операциясы. Бұл матрицаның әрбір элементі бірінші матрицаның тиісті қатарындағы және екінші матрицаның тиісті бағанындағы элементтерді көбейту қосындыларына тең. Матрицаларды көбейту үшін бірінші матрицадағы бағандар санының екінші матрицадағы қатарлар санына тең болуы қажет.
Матрицаларды көбейту мысалы:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Матрицаның анықтауышы
Матрицаның анықтауышы ($det(A)$ немесе $|A|$) - бұл шаршы матрицаның қасиеттерін сипаттайтын шама.
Анықтаушын есептеу мысалы (det - калькулятор экранының астындағы бос өріске компьютер пернетақтасын қолданып енгізіледі):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Матрицаны транспондау
Транспондау - бұл бастапқы матрицаның қатарлары мен бағандарын ауыстыру операциясы, яғни қатарлар бағандар болады, ал бағандар қатарлар болады. Егер $A$ - бастапқы матрица болса, онда транспонданған матрица $A^T$ болып белгіленеді. Егер бастапқы матрицаның өлшемі $m \times n$ болса, онда транспонданған матрицаның өлшемі $n \times m$ болады.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Транспонданған матрицаны $A^T$ алу үшін бастапқы матрицаның $A$ қатарлары мен бағандарын ауыстыру қажет. Бұл үшін мына әрекеттерді орындау керек.
Бірінші қатардағы элементтерді $a_{11}$-ден $a_{1n}$-ға дейін алып, оларды транспонданған матрицаның $A^T$ бірінші бағаны ретінде жазу:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Екінші қатардағы элементтерді $a_{21}$-ден $a_{2n}$-ға дейін алып, оларды $A^T$-ның екінші бағаны ретінде жазу:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Бұл қадамды $A$ матрицасының барлық қатарлары $A^T$ бағандары ретінде жазылғанға дейін қайталау:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Осылайша, транспонданған $A^T$ матрицасының $a^T_{ij}$ элементтері бастапқы $A$ матрицасының $a_{ji}$ элементтеріне сәйкес келеді.
Матрицаны транспондау мысалы:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$