방정식 계산기
이 계산기를 사용하면 직선, 이차 또는 세제곱 방정식을 온라인으로 풀 수 있습니다. 계산 예제는 해당 섹션에서 찾을 수 있습니다.
방정식 풀기
방정식은 변수(또는 미지수)를 포함한 등식입니다. 하나의 변수 $x$를 갖는 일반적인 방정식은 다음과 같이 표기됩니다: $f(x) = g(x)$.
방정식의 해(또는 근)란 변수의 값을 대입했을 때 등식이 참이 되는 값을 말합니다. 방정식을 풀기란 모든 해를 찾거나 해가 없음을 증명하는 것을 의미합니다.
계산기로 방정식을 푸는 방법: 먼저 = 기호 앞 부분을 입력한 다음 x=y 버튼을 누릅니다. 그 다음 나머지 부분을 입력하고 = 버튼을 눌러 계산을 수행합니다. 예를 들어, $2x - 4 = 0$ 방정식의 근은 $x = 2$입니다. 이 결과는 방정식 계산기를 사용하여 다음과 같이 구했습니다:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
직선 방정식
하나의 미지수를 포함하는 직선 방정식은 다음과 같은 형태입니다:
$$ax + b = 0,$$
여기서
- $x$는 미지수,
- $a$는 미지수의 계수,
- $b$는 상수항입니다.
직선 방정식은 가장 단순한 형태의 대수 방정식으로, 간단한 산술 연산으로 풀 수 있습니다.
예제 풀이:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
이차 방정식
이차 방정식은 다음과 같은 형태입니다:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
계산기로 이차 방정식 풀기:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
계수의 관계
일부 이차 방정식의 계수는 특정 관계를 가지므로 이를 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
이런 방정식의 근은 일반 계산기로도 구할 수 있습니다.
판별식
판별식은 이차 방정식의 근을 찾는 데 사용됩니다. 판별식 계산 공식:
$$D = b^2 - 4ac$$
판별식을 이용한 근 계산 공식:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
$D > 0$인 경우 방정식은 두 개의 서로 다른 근을 갖습니다. 예:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
$D = 0$인 경우 방정식은 하나의 근(또는 두 개의 같은 근)을 갖습니다. 예:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
$D < 0$인 경우 방정식은 실수 범위에서 근을 갖지 않습니다:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
비에트 정리
비에트 정리는 이차 방정식 $x_1, x_2$의 근과 계수 $a, b, c$ 사이의 간단한 대수 관계(비에트 공식)를 제공합니다. 이 공식을 사용하면 계수가 주어졌을 때 근을 찾거나, 근이 주어졌을 때 계수를 계산할 수 있습니다.
비에트 공식:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
이차이차 방정식
이차이차 방정식은 다음과 같은 형태입니다:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
$x^2$를 $y \ (y \ge 0)$로 치환하면 이차 방정식이 됩니다. 이차 방정식의 근 $y_1, y_2$를 구한 다음, 이차이차 방정식의 근은 다음과 같이 구할 수 있습니다:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
세제곱 방정식
세제곱 방정식은 다음과 같은 형태입니다:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
예제 풀이:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
세제곱 방정식을 $a$로 나누고 $x$를 $y - \frac {b} {3a}$로 치환하면 다음과 같이 더 간단한 형태로 표현할 수 있습니다:
$$y^3 + py + q = 0,$$
여기서
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
카르다노 공식
다음과 같은 형태의 세제곱 방정식이 있다고 가정합시다:
$$y^3 + py + q = 0,$$
이 방정식의 근을 구하기 위해서는 카르다노 공식을 적용할 수 있습니다:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$