적분 계산기
이 계산기를 사용하면 부정적분 또는 정적분을 계산할 수 있습니다. 계산 예시는 해당 섹션에서 찾을 수 있습니다.
일부 기본 적분은 계산하지 않고 표에서 불정적분을 바로 찾을 수 있습니다.
불정적분
함수 $f(x)$의 불정적분은 미분계수가 $f(x)$와 같은 함수 $F(x)$입니다. 즉, $F^{\prime}(x) = f(x)$입니다. 불정적분을 찾는 것은 미분화의 역연산입니다.
$F(x)$가 $f(x)$의 불정적분이라면, $F(x) + C$도 $f(x)$의 불정적분이 됩니다. 여기서 $C$는 임의의 상수입니다.
부정적분
함수 $f(x)$의 부정적분은 해당 함수의 모든 불정적분의 집합입니다. 이는 다음과 같이 표기됩니다.
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
여기서
- $\int$는 적분 기호입니다.
- $f(x)$는 적분해야 할 함수입니다.
- $dx$는 적분 요소입니다.
- $F(x)$는 불정적분입니다.
- $C$는 적분상수입니다.
적분을 찾는 작업을 적분이라고 합니다.
성질
부정적분의 주요 성질은 다음과 같습니다.
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
계산 예시
아래는 부정적분을 계산하는 예시입니다. 이러한 계산을 적분 계산기에서 수행하려면 각 예시 아래에 표시된 단추를 순서대로 누르세요. 참고: 컴퓨터 키보드를 사용하여 계산기 화면 아래 빈 칸에 int를 입력하세요.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
적분표
주요 부정적분과 해당 불정적분 목록:
$\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
---|---|
$$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
$$\int dx$$ | $$x + C$$ |
$$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
$$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
$$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
$$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
$$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
$$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
$$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
$$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
정적분
$F(x)$가 구간 $[a;b]$에서 정의되고 연속인 함수 $f(x)$의 불정적분이라면, 정적분은 다음 공식으로 계산됩니다.
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
성질
정적분의 주요 성질은 다음과 같습니다.
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
계산 예시
아래는 정적분을 계산하는 예시입니다. 이러한 계산을 계산기에서 수행하려면 각 예시 아래에 표시된 단추를 순서대로 누르세요. 참고: 컴퓨터 키보드를 사용하여 계산기 화면 아래 빈 칸에 int를 입력하세요.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =