행렬 계산기
이 계산기를 사용하면 행렬의 덧셈, 뺄셈 또는 곱셈을 수행하거나 행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다. 필요한 계산을 수행하려면 해당 섹션의 예시 아래에 표시된 버튼을 순서대로 누르면 됩니다.
행렬의 전치는 계산기 없이도 쉽게 수행할 수 있습니다. 자세한 지침을 참고하세요.
수학에서 행렬이란
행렬은 $m$개의 행과 $n$개의 열로 구성된 직사각형 모양의 숫자, 기호 또는 식의 배열입니다. 행렬의 각 요소는 특정 행과 열의 교차점에 위치합니다.
행렬은 일반적으로 대문자(예: $A$)로 표기합니다. 개별 행렬 요소는 첨자를 사용하여 표기합니다(예: $a_{12}$는 첫 번째 행과 두 번째 열의 교차점에 있는 요소).
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
행렬의 크기는 $m \times n$으로 표시됩니다. 예를 들어, $3 \times 4$ 크기의 행렬은 3개의 행과 4개의 열을 가집니다. 행렬의 요소 개수는 $m$과 $n$을 곱하여 알 수 있습니다. 계산기를 사용하면 $3 \cdot 4 = 12$와 같이 계산할 수 있습니다.
행렬의 덧셈과 뺄셈
행렬의 덧셈과 뺄셈은 대응하는 행렬 요소를 더하거나 빼는 연산입니다. 이때 행렬의 크기가 같아야 합니다. 즉, 행과 열의 개수가 동일해야 합니다.
행렬 덧셈 예시:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
행렬 뺄셈 예시:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
행렬의 곱셈
두 행렬의 곱셈은 새로운 행렬인 행렬곱을 계산하는 연산입니다. 이 행렬의 각 요소는 첫 번째 행렬의 해당 행 요소와 두 번째 행렬의 해당 열 요소의 곱의 합계로 계산됩니다. 행렬 곱셈을 하려면 첫 번째 행렬의 열 개수와 두 번째 행렬의 행 개수가 같아야 합니다.
행렬 곱셈 예시:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
행렬식
행렬식($det(A)$ 또는 $|A|$)은 정방행렬의 성질을 나타내는 값입니다.
행렬식 계산 예시(det는 계산기 화면 아래 빈 칸에 키보드로 입력하세요):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
행렬의 전치
전치는 원래 행렬의 행과 열을 바꾸는 연산입니다. 즉, 행이 열이 되고 열이 행이 됩니다. 원래 행렬을 $A$라고 하면, 전치된 행렬은 $A^T$로 표기합니다. 원래 행렬 $A$의 크기가 $m \times n$이라면, 전치된 행렬 $A^T$의 크기는 $n \times m$이 됩니다.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
전치된 행렬 $A^T$를 구하려면 원래 행렬 $A$의 행과 열을 바꾸면 됩니다. 이를 위해 다음 단계를 따르세요.
원래 행렬 $A$의 첫 번째 행 요소 $a_{11}$부터 $a_{1n}$까지를 전치된 행렬 $A^T$의 첫 번째 열로 기록합니다.
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
원래 행렬 $A$의 두 번째 행 요소 $a_{21}$부터 $a_{2n}$까지를 $A^T$의 두 번째 열로 기록합니다.
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
$A$의 모든 행 요소가 $A^T$의 열로 기록될 때까지 이 단계를 반복합니다.
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
따라서 전치된 행렬 $A^T$의 요소 $a^T_{ij}$는 원래 행렬 $A$의 요소 $a_{ji}$와 대응합니다.
행렬 전치 예시:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$