Pengira Persamaan
Dengan pengira ini, anda boleh menyelesaikan persamaan linear, kuadratik atau kubik dalam talian. Contoh pengiraan boleh didapati dalam bahagian yang berkaitan.
Menyelesaikan Persamaan
Persamaan adalah kesamaan dengan pemboleh ubah (atau anu). Persamaan dengan satu pemboleh ubah $x$ dalam bentuk umum biasanya ditulis seperti ini: $f(x) = g(x)$.
Penyelesaian (atau punca) persamaan adalah nilai pemboleh ubah yang menjadikan persamaan benar dari segi kesamaan nombor. Menyelesaikan persamaan bermaksud mencari semua penyelesaiannya atau membuktikan bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian.
Cara menyelesaikan persamaan pada pengira: masukkan bahagian persamaan sebelum tanda = dahulu, tekan butang x=y, masukkan bahagian selebihnya selepas tanda sama dengan, tekan butang = untuk mengira. Sebagai contoh, untuk persamaan $2x - 4 = 0$ puncanya adalah $x = 2$. Inilah cara keputusan itu diperoleh menggunakan pengira persamaan:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Persamaan Linear
Persamaan linear dengan satu anu adalah persamaan seperti berikut:
$$ax + b = 0,$$
di mana
- $x$ - anu,
- $a$ - pekali anu,
- $b$ - sebutan bebas.
Persamaan linear adalah jenis persamaan algebra yang paling mudah, penyelesaiannya melibatkan operasi aritmetik yang mudah.
Contoh penyelesaian:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Persamaan Kuadratik
Persamaan kuadratik adalah persamaan seperti berikut:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan pengira:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Nisbah Pekali
Terdapat persamaan kuadratik yang mempunyai pekali dalam nisbah tertentu, membolehkan persamaan tersebut diselesaikan dengan lebih mudah.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Punca persamaan sedemikian boleh dicari menggunakan pengira biasa.
Diskriminan
Diskriminan digunakan untuk mencari punca persamaan kuadratik. Formula bagi mengira diskriminan:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formula bagi mencari punca menggunakan diskriminan:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Jika $D > 0$, persamaan mempunyai dua punca berbeza. Contohnya:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Jika $D = 0$, persamaan mempunyai satu punca (atau dua punca sama). Contohnya:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Jika $D < 0$, persamaan tidak mempunyai punca dalam set nombor nyata:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorem Vieta
Teorem Vieta menetapkan hubungan algebra yang mudah (formula Vieta) antara punca persamaan kuadratik $x_1, x_2$ dan pekaliannya $a, b, c$. Dengan menggunakan formula ini, punca boleh dicari jika pekalinya diketahui, atau pekali boleh dikira jika puncanya diketahui.
Formula Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Persamaan Bikuadratik
Persamaan bikuadratik adalah persamaan seperti berikut:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Jika $x^2$ digantikan dengan $y \ (y \ge 0)$, persamaan akan menjadi persamaan kuadratik yang puncanya $y_1, y_2$ boleh dicari. Punca persamaan bikuadratik didapati seperti berikut:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Persamaan Kubik
Persamaan kubik adalah persamaan seperti berikut:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Contoh penyelesaian:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Jika persamaan kubik dibahagi dengan $a$ dan $x$ digantikan dengan $y - \frac {b} {3a}$, ia akan menjadi bentuk yang lebih mudah:
$$y^3 + py + q = 0,$$
di mana
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Formula Cardano
Jika persamaan kubik berbentuk:
$$y^3 + py + q = 0,$$
formula Cardano boleh digunakan untuk mencari puncanya:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$