Pengiraan Kamiran
Dengan pengiraan ini, anda akan dapat mengira kamiran tidak tertentuan atau tertentuan. Contoh pengiraan boleh didapati di dalam bahagian yang berkenaan.
Sesetengah kamiran asas boleh tidak dikira, dan primitivnya dapat dicari terus dalam jadual.
Primitif
Primitif untuk fungsi $f(x)$ adalah fungsi $F(x)$ yang terbitan sama dengan $f(x)$, iaitu $F^{\prime}(x) = f(x)$. Mencari primitif adalah operasi songsang bagi pembezaan.
Jika $F(x)$ adalah primitif untuk $f(x)$, maka fungsi $F(x) + C$, dengan $C$ adalah pemalar sembarangan, juga adalah primitif untuk $f(x)$.
Kamiran Tidak Tertentuan
Kamiran tidak tertentuan bagi fungsi $f(x)$ adalah sekumpulan semua primitif fungsi ini. Ianya diperturunkan seperti berikut:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
di mana
- $\int$ - tanda kamiran
- $f(x)$ - fungsi bawah kamiran
- $dx$ - unsur kamiran
- $F(x)$ - primitif
- $C$ - pemalar kamiran
Operasi mencari kamiran dipanggil pengamiran.
Sifat-sifat
Sifat-sifat utama kamiran tidak tertentuan:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Contoh Pengiraan
Di bawah terdapat contoh pengiraan kamiran tidak tertentuan. Untuk melaksanakan pengiraan ini pada pengiraan kamiran, anda perlu menekan butang secara berurutan seperti yang ditunjukkan di bawah setiap contoh. Nota: Masukkan int ke dalam medan kosong di bawah skrin pengiraan menggunakan papan kekunci komputer anda.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Jadual Kamiran
Jadual kamiran tidak tertentuan asas dan primitif masing-masing:
$\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
---|---|
$$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
$$\int dx$$ | $$x + C$$ |
$$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
$$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
$$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
$$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
$$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
$$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
$$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
$$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Kamiran Tertentuan
Jika $F(x)$ adalah primitif untuk fungsi $f(x)$ yang ditakrifkan dan berterusan pada selang $[a;b]$, maka kamiran tertentuan dikira dengan menggunakan formula:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Sifat-sifat
Sifat-sifat utama kamiran tertentuan:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Contoh Pengiraan
Di bawah terdapat contoh pengiraan kamiran tertentuan. Untuk melaksanakan pengiraan ini pada pengiraan, anda perlu menekan butang secara berurutan seperti yang ditunjukkan di bawah setiap contoh. Nota: Masukkan int ke dalam medan kosong di bawah skrin pengiraan menggunakan papan kekunci komputer anda.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =