Pengira Matriks
Dengan pengira ini, anda boleh menambah, menolak atau mencampur matriks, serta mengira penentu matriks. Untuk melaksanakan pengiraan yang diperlukan, tekan butang yang ditunjukkan di bawah contoh dalam bahagian yang berkenaan.
Transpositkan matriks boleh dilakukan dengan mudah tanpa pengira, cuma ikut arahan terperinci.
Apakah matriks dalam matematik
Matriks ialah jadual persegi panjang unsur-unsur (nombor, simbol atau ungkapan) yang terdiri daripada $m$ baris dan $n$ lajur. Setiap unsur matriks terletak pada persilangan baris dan lajur tertentu.
Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf besar, misalnya, $A$. Unsur-unsur matriks dilambangkan dengan indeks, contohnya, $a_{12}$ ialah unsur yang terletak pada baris pertama dan lajur kedua.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Saiz matriks ditandakan sebagai $m \times n$. Contohnya, matriks bersaiz $3 \times 4$ akan mempunyai 3 baris dan 4 lajur. Bilangan unsur dalam matriks boleh didapati dengan mencampur $m$ dan $n$ pada pengira biasa: $3 \cdot 4 = 12$.
Tambah dan tolak matriks
Penambahan dan penolakan matriks ialah operasi di mana unsur-unsur matriks yang sepadan ditambah atau ditolak. Oleh itu, matriks perlu mempunyai saiz yang sama, iaitu mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.
Contoh menambah matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Contoh menolak matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Darab matriks
Darab dua matriks ialah operasi pengiraan matriks baru yang dipanggil hasil darab matriks. Setiap unsur matriks ini sama dengan jumlah hasil darab unsur-unsur dalam baris yang sepadan pada matriks pertama dan lajur pada matriks kedua. Untuk mencampur matriks, bilangan lajur pada matriks pertama mestilah sama dengan bilangan baris pada matriks kedua.
Contoh mencampur matriks:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Penentu matriks
Penentu matriks ($det(A)$ atau $|A|$) ialah nilai yang mencirikan ciri-ciri matriks segiempat.
Contoh pengiraan penentu (det perlu dimasukkan ke dalam medan kosong di bawah skrin pengira, menggunakan papan kekunci komputer anda):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Mentranspositkan matriks
Transpositkan ialah operasi di mana baris dan lajur matriks asal ditukar tempat, iaitu baris menjadi lajur dan lajur menjadi baris. Jika $A$ ialah matriks asal, maka matriks tertranspositkan dilambangkan sebagai $A^T$. Jika matriks asal $A$ bersaiz $m \times n$, maka matriks tertranspositkan $A^T$ akan bersaiz $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Untuk mendapatkan matriks tertranspositkan $A^T$, baris dan lajur matriks asal $A$ perlu ditukar tempat. Untuk melakukan ini, ikuti langkah-langkah berikut.
Ambil unsur-unsur baris pertama dari $a_{11}$ hingga $a_{1n}$ dan tuliskannya sebagai lajur pertama matriks tertranspositkan $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Ambil unsur-unsur baris kedua dari $a_{21}$ hingga $a_{2n}$ dan tuliskannya sebagai lajur kedua $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ulangi langkah ini untuk semua baris matriks $A$ sehingga semua barisan ditulis sebagai lajur $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Oleh itu, unsur-unsur $a^T_{ij}$ matriks tertranspositkan $A^T$ sepadan dengan unsur-unsur $a_{ji}$ matriks asal $A$.
Contoh mentranspositkan matriks:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$