Vergelijkingencalculator
Met deze calculator kunt u online een lineaire, kwadratische of kubieke vergelijking oplossen. Rekenvoorbeelden kunt u vinden in de desbetreffende sectie.
Oplossen van vergelijkingen
Een vergelijking is een gelijkheid met een variabele (of onbekende). Een vergelijking met één variabele $x$ wordt in het algemeen als volgt geschreven: $f(x) = g(x)$.
Een oplossing (of wortel) van een vergelijking is zo’n waarde van de variabele waardoor de vergelijking een ware numerieke gelijkheid wordt. Een vergelijking oplossen betekent alle oplossingen ervan vinden of aantonen dat er geen zijn.
Zo lost u een vergelijking op met de calculator: voer eerst het gedeelte van de vergelijking vóór het =-teken in, druk op de knop x=y, voer het resterende gedeelte van de vergelijking in, druk op de knop = om de berekening uit te voeren. Zo is voor de vergelijking $2x - 4 = 0$ de wortel $x = 2$. Hier is hoe dit resultaat werd verkregen met de vergelijkingencalculator:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineaire vergelijkingen
Een lineaire vergelijking met één onbekende is een vergelijking van de volgende vorm:
$$ax + b = 0,$$
waar
- $x$ de onbekende is,
- $a$ de coëfficiënt bij de onbekende is,
- $b$ het constante deel van de vergelijking is.
Lineaire vergelijkingen zijn de eenvoudigste vorm van algebraïsche vergelijkingen, waarvan de oplossing neerkomt op het uitvoeren van eenvoudige rekenkundige bewerkingen.
Voorbeelden van het oplossen:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kwadratische vergelijkingen
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de volgende vorm:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Kwadratische vergelijkingen oplossen met de calculator:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Verhoudingen van coëfficiënten
Er bestaan kwadratische vergelijkingen waarvan de coëfficiënten zich in bepaalde verhoudingen bevinden, waardoor deze vergelijkingen veel eenvoudiger kunnen worden opgelost.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
De wortels van dergelijke vergelijkingen kunnen ook met een gewone calculator worden gevonden.
Discriminant
De discriminant wordt gebruikt om de wortels van een kwadratische vergelijking te vinden. De discriminantformule is:
$$D = b^2 - 4ac$$
De formule voor het vinden van de wortels met behulp van de discriminant:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Als $D > 0$, dan heeft de vergelijking twee verschillende wortels. Bijvoorbeeld:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Als $D = 0$, dan heeft de vergelijking één wortel (of twee gelijke wortels). Bijvoorbeeld:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Als $D < 0$, dan heeft de vergelijking geen wortels in de verzameling van de reële getallen:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Stelling van Viète
De stelling van Viète geeft eenvoudige algebraïsche betrekkingen (Viète’s formules) tussen de wortels $x_1, x_2$ van een kwadratische vergelijking en de coëfficiënten $a, b, c$. Met behulp van deze formules kunnen de wortels worden gevonden als de coëfficiënten bekend zijn, of de coëfficiënten worden berekend als de wortels bekend zijn.
Viète’s formules:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikwadratische vergelijkingen
Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de volgende vorm:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Als we $x^2$ vervangen door $y \ (y \ge 0)$, krijgen we een kwadratische vergelijking waarvan de wortels $y_1, y_2$ kunnen worden gevonden. De wortels van de bikwadratische vergelijking worden dan als volgt gevonden:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubieke vergelijkingen
Een kubieke vergelijking is een vergelijking van de volgende vorm:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Voorbeeld van het oplossen:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Als de kubieke vergelijking wordt gedeeld door $a$ en $x$ wordt vervangen door $y - \frac {b} {3a}$, krijgt de vergelijking de volgende eenvoudigere vorm:
$$y^3 + py + q = 0,$$
waar
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Formule van Cardano
Als een kubieke vergelijking de volgende vorm heeft:
$$y^3 + py + q = 0,$$
dan kunnen de wortels van deze vergelijking worden gevonden met de formule van Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$