Integraalcalculator
Met deze calculator kunt u een onbepaalde of bepaalde integraal berekenen. Rekenvoorbeelden zijn te vinden in de betreffende sectie.
Sommige basisintegralen hoeven niet te worden berekend, maar de oorspronkelijke kan direct in de tabel worden gevonden.
Oorspronkelijke
De oorspronkelijke voor een functie $f(x)$ is een functie $F(x)$ waarvan de afgeleide gelijk is aan $f(x)$, dus $F^{\prime}(x) = f(x)$. Het vinden van de oorspronkelijke is de operatie die tegenovergesteld is aan differentiatie.
Als $F(x)$ de oorspronkelijke is voor $f(x)$, dan is de functie $F(x) + C$, waar $C$ een willekeurige constante is, ook de oorspronkelijke voor $f(x)$.
Onbepaalde integraal
De onbepaalde integraal voor een functie $f(x)$ is de verzameling van alle oorspronkelijken van deze functie. Dit wordt als volgt aangegeven:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
waar
- $\int$ - het integraaltoken
- $f(x)$ - de geïntegreerde functie
- $dx$ - het integratie-element
- $F(x)$ - de oorspronkelijke
- $C$ - de integratieconstante
De operatie om de integraal te vinden wordt integreren genoemd.
Eigenschappen
De belangrijkste eigenschappen van de onbepaalde integraal:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Rekenvoorbeelden
Hieronder staan voorbeelden van het berekenen van onbepaalde integralen. Om deze berekeningen uit te voeren op de integraalcalculator, moet u de knoppen indrukken zoals onder elk voorbeeld staat aangegeven. Opmerking: voer int in het lege veld onder het scherm van de calculator in met behulp van het toetsenbord van uw computer.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Integraalentabel
Tabel van belangrijkste onbepaalde integralen en bijbehorende oorspronkelijken:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Bepaalde integraal
Als $F(x)$ de oorspronkelijke is voor een functie $f(x)$ die gedefinieerd en continu is op het interval $[a;b]$, dan wordt de bepaalde integraal berekend volgens de formule:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Eigenschappen
De belangrijkste eigenschappen van de bepaalde integraal:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Rekenvoorbeelden
Hieronder staan voorbeelden van het berekenen van bepaalde integralen. Om deze berekeningen uit te voeren op de calculator, moet u de knoppen indrukken zoals onder elk voorbeeld staat aangegeven. Opmerking: voer int in het lege veld onder het scherm van de calculator in met behulp van het toetsenbord van uw computer.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =