Matrixcalculator
Met deze calculator kunt u matrices optellen, aftrekken of vermenigvuldigen, en de determinant van een matrix berekenen. Om de gewenste berekeningen uit te voeren, moet u achtereenvolgens op de knoppen klikken die onder het voorbeeld in de desbetreffende sectie staan.
U kunt een matrix eenvoudig transponeren zonder een calculator te gebruiken, gewoon door de gedetailleerde instructie te volgen.
Wat is een matrix in wiskunde
Een matrix is een rechthoekige tabel van elementen (getallen, symbolen of expressies), bestaande uit $m$ rijen en $n$ kolommen. Elk element van de matrix bevindt zich op de kruising van een bepaalde rij en kolom.
Een matrix wordt gewoonlijk aangegeven met een hoofdletter, bijvoorbeeld $A$. Afzonderlijke matrixelementen worden aangeduid met behulp van indices, bijvoorbeeld $a_{12}$ is het element dat zich in de eerste rij en de tweede kolom bevindt.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
De afmeting van een matrix wordt aangegeven als $m \times n$. Bijvoorbeeld, een matrix van formaat $3 \times 4$ zal 3 rijen en 4 kolommen hebben. U kunt het aantal elementen in de matrix vinden door $m$ en $n$ met een rekenmachine te vermenigvuldigen: $3 \cdot 4 = 12$.
Optellen en aftrekken van matrices
Het optellen en aftrekken van matrices zijn bewerkingen waarbij de overeenkomstige elementen van de matrices worden opgeteld of afgetrokken. Hiervoor is het noodzakelijk dat de matrices dezelfde afmeting hebben, d.w.z. hetzelfde aantal rijen en kolommen.
Voorbeeld van het optellen van matrices:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Voorbeeld van het aftrekken van matrices:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Vermenigvuldigen van matrices
Het vermenigvuldigen van twee matrices is een operatie waarbij een nieuwe matrix wordt berekend, die het product van de matrices wordt genoemd. Elk element van deze matrix is gelijk aan de som van de producten van de elementen in de overeenkomstige rij van de eerste matrix en de kolom van de tweede matrix. Om matrices te kunnen vermenigvuldigen, moet het aantal kolommen in de eerste matrix gelijk zijn aan het aantal rijen in de tweede matrix.
Voorbeeld van het vermenigvuldigen van matrices:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinant van een matrix
De determinant van een matrix ($det(A)$ of $|A|$) is een grootheid die de eigenschappen van een vierkante matrix karakteriseert.
Voorbeeld van het berekenen van de determinant (det moet ingevoerd worden in het lege veld onder het scherm van de calculator, met behulp van het toetsenbord van uw computer):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponeren van een matrix
Transponeren is een operatie waarbij de rijen en kolommen van de oorspronkelijke matrix van plaats wisselen, d.w.z. de rijen worden kolommen en de kolommen worden rijen. Als $A$ de oorspronkelijke matrix is, wordt de getransponeerde matrix aangeduid met $A^T$. Als de oorspronkelijke matrix $A$ de afmeting $m \times n$ heeft, zal de getransponeerde matrix $A^T$ de afmeting $n \times m$ hebben.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Om de getransponeerde matrix $A^T$ te verkrijgen, moeten de rijen en kolommen van de oorspronkelijke matrix $A$ van plaats wisselen. Hiervoor moeten de volgende stappen worden uitgevoerd.
Neem de elementen van de eerste rij van $a_{11}$ tot $a_{1n}$ en schrijf ze als de eerste kolom van de getransponeerde matrix $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Neem de elementen van de tweede rij van $a_{21}$ tot $a_{2n}$ en schrijf ze als de tweede kolom van $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Herhaal deze stap voor alle rijen van matrix $A$, totdat ze als kolommen van $A^T$ zijn opgeschreven:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Op deze manier komen de elementen $a^T_{ij}$ van de getransponeerde matrix $A^T$ overeen met de elementen $a_{ji}$ van de oorspronkelijke matrix $A$.
Voorbeeld van het transponeren van een matrix:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$