Ligningskalkulatoren
Med denne kalkulatoren kan du løse en lineær, kvadratisk eller kubisk ligning online. Eksempler på beregninger kan finnes i den aktuelle seksjonen.
Løsning av ligninger
En ligning er en likhet med en variabel (eller ukjent). En ligning med én variabel $x$ skrives vanligvis på følgende generelle form: $f(x) = g(x)$.
En løsning (eller rot) av en ligning er verdien av variabelen som gjør ligningen til en sann numerisk likhet. Å løse en ligning betyr å finne alle dens løsninger eller bevise at de ikke finnes.
Slik løser du en ligning på kalkulatoren: Skriv først inn delen av ligningen før =-tegnet, trykk på x=y-knappen, skriv inn resten av ligningen, trykk på =-knappen for å utføre beregningen. For eksempel er roten til ligningen $2x - 4 = 0$ $x = 2$. Dette er hvordan dette resultatet ble oppnådd ved hjelp av ligningskalkulatoren:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineære ligninger
En lineær ligning med én ukjent er en ligning av følgende form:
$$ax + b = 0,$$
hvor
- $x$ er den ukjente,
- $a$ er koeffisienten til den ukjente,
- $b$ er den frie koeffisienten til ligningen.
Lineære ligninger er den enkleste typen algebraiske ligninger, og løsningen av dem reduseres til å utføre enkle aritmetiske operasjoner.
Eksempler på løsninger:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratiske ligninger
En kvadratisk ligning er en ligning av følgende form:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Løsning av kvadratiske ligninger på kalkulatoren:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Koeffisientforhold
Det finnes kvadratiske ligninger hvor koeffisientene forholder seg til hverandre på en måte som gjør det mye enklere å løse disse ligningene.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Røttene til slike ligninger kan også finnes ved hjelp av en vanlig kalkulator.
Diskriminanten
Diskriminanten brukes til å finne røttene til en kvadratisk ligning. Formelen for beregning av diskriminanten er:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formelen for å finne røttene ved hjelp av diskriminanten er:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Hvis $D > 0$, har ligningen to distinkte røtter. For eksempel:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Hvis $D = 0$, har ligningen én rot (eller to like røtter). For eksempel:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Hvis $D < 0$, har ligningen ingen røtter i mengden av reelle tall:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietas teorem
Vietas teorem etablerer enkle algebraiske relasjoner (Vietas formler) mellom røttene $x_1, x_2$ til en kvadratisk ligning og dens koeffisienter $a, b, c$. Ved hjelp av disse formlene kan man finne røttene hvis koeffisientene er kjent, eller beregne koeffisientene hvis røttene er kjent.
Vietas formler:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratiske ligninger
En bikvadratisk ligning er en ligning av følgende form:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Hvis man erstatter $x^2$ med $y \ (y \ge 0)$, får man en kvadratisk ligning som man kan finne røttene $y_1, y_2$ til. Røttene til den bikvadratiske ligningen finnes som følger:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubiske ligninger
En kubisk ligning er en ligning av følgende form:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Eksempel på løsning:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Hvis den kubiske ligningen divideres med $a$ og $x$ erstattes med $y - \frac {b} {3a}$, får den følgende enklere form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
hvor
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanos formel
Hvis en kubisk ligning har følgende form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
kan Cardanos formel brukes for å finne røttene til denne ligningen:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$