Integralkalkulatoren
Med denne kalkulatoren kan du beregne en ubestemt eller bestemt integral. Eksempler på beregninger kan finnes i det tilsvarende avsnittet.
Noen av de grunnleggende integralene kan ikke beregnes, men den opprinnelige funksjonen kan finnes direkte i tabellen.
Den opprinnelige funksjonen
Den opprinnelige funksjonen for en funksjon $f(x)$ er en slik funksjon $F(x)$ hvor den deriverte er lik $f(x)$, det vil si $F^{\prime}(x) = f(x)$. Å finne den opprinnelige funksjonen er en operasjon som er motsatt av derivasjon.
Hvis $F(x)$ er den opprinnelige funksjonen for $f(x)$, så er funksjonen $F(x) + C$, hvor $C$ er en vilkårlig konstant, også den opprinnelige funksjonen for $f(x)$.
Ubestemt integral
Den ubestemte integralen for en funksjon $f(x)$ er mengden av alle de opprinnelige funksjonene til denne funksjonen. Det betegnes slik:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
hvor
- $\int$ er integralegnet
- $f(x)$ er den integrerende funksjonen
- $dx$ er integralelement
- $F(x)$ er den opprinnelige funksjonen
- $C$ er integrasjonskonstanten
Operasjonen for å finne integralet kalles integrasjon.
Egenskaper
De grunnleggende egenskapene til den ubestemte integralen:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Eksempler på beregninger
Nedenfor er det gitt eksempler på beregning av ubestemte integraler. For å utføre disse beregningene på integralkalkulatoren må du trykke på knappene som er angitt under hvert eksempel i rekkefølge. Merk: skriv inn int i det tomme feltet under kalkulatorskjermen ved å bruke tastaturet på datamaskinen din.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Integraltabell
Tabell over grunnleggende ubestemte integraler og de tilsvarende opprinnelige funksjonene:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Bestemt integral
Hvis $F(x)$ er den opprinnelige funksjonen for funksjonen $f(x)$ som er definert og kontinuerlig på intervallet $[a;b]$, så blir den bestemte integralen beregnet ved formelen:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Egenskaper
De grunnleggende egenskapene til den bestemte integralen:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Eksempler på beregninger
Nedenfor er det gitt eksempler på beregning av bestemte integraler. For å utføre disse beregningene på kalkulatoren må du trykke på knappene som er angitt under hvert eksempel i rekkefølge. Merk: skriv inn int i det tomme feltet under kalkulatorskjermen ved å bruke tastaturet på datamaskinen din.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =