Matrisekalkulator
Med denne kalkulatoren kan du utføre addisjon, subtraksjon eller multiplikasjon av matriser, samt beregne determinanten av en matrise. For å utføre de nødvendige beregningene må du trykke på knappene som er angitt under eksempelet i det relevante avsnittet.
Transponering av en matrise kan lett gjøres selv uten kalkulator, bare følg den detaljerte instruksjonen.
Hva er en matrise i matematikk
En matrise er en rektangulær tabell med elementer (tall, symboler eller uttrykk) som består av $m$ rader og $n$ kolonner. Hvert element i matrisen befinner seg i krysningspunktet mellom en bestemt rad og kolonne.
En matrise betegnes vanligvis med en stor bokstav, for eksempel $A$. Individuelle elementer i matrisen betegnes ved hjelp av indekser, for eksempel $a_{12}$ - elementet plassert i første rad og andre kolonne.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Størrelsen på matrisen angis som $m \times n$. For eksempel vil en matrise med størrelse $3 \times 4$ ha 3 rader og 4 kolonner. Antall elementer i matrisen kan finnes ved å multiplisere $m$ med $n$ på en vanlig kalkulator: $3 \cdot 4 = 12$.
Addisjon og subtraksjon av matriser
Addisjon og subtraksjon av matriser er operasjoner der de korresponderende elementene i matrisene legges sammen eller trekkes fra hverandre. Det er nødvendig at matrisene har samme størrelse, det vil si at de har samme antall rader og kolonner.
Eksempel på addisjon av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Eksempel på subtraksjon av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplikasjon av matriser
Multiplikasjon av to matriser er en operasjon for å beregne en ny matrise, som kalles matriseproduktet. Hvert element i denne matrisen er lik summen av produktene av elementene i de korresponderende radene i den første matrisen og kolonnene i den andre matrisen. For multiplikasjon av matriser er det nødvendig at antallet kolonner i den første matrisen er lik antallet rader i den andre matrisen.
Eksempel på multiplikasjon av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinant av en matrise
Determinanten av en matrise ($det(A)$ eller $|A|$) er en størrelse som karakteriserer egenskapene til en kvadratisk matrise.
Eksempel på å beregne determinanten (det må skrives inn i det tomme feltet under kalkulatorskjermen ved hjelp av datamaskinens tastatur):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponering av en matrise
Transponering er en operasjon der radene og kolonnene i den opprinnelige matrisen byttes ut, det vil si at radene blir kolonner, og kolonnene blir rader. Hvis $A$ er den opprinnelige matrisen, betegnes den transponerte matrisen som $A^T$. Hvis den opprinnelige matrisen $A$ har størrelsen $m \times n$, vil den transponerte matrisen $A^T$ ha størrelsen $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
For å få den transponerte matrisen $A^T$, må radene og kolonnene i den opprinnelige matrisen $A$ byttes. For å gjøre dette må du følge disse trinnene.
Ta elementene i første rad fra $a_{11}$ til $a_{1n}$ og skriv dem som den første kolonnen i den transponerte matrisen $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Ta elementene i andre rad fra $a_{21}$ til $a_{2n}$ og skriv dem som den andre kolonnen i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Gjenta dette trinnet for alle radene i matrisen $A$ inntil de er skrevet som kolonner i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Således korresponderer elementene $a^T_{ij}$ i den transponerte matrisen $A^T$ med elementene $a_{ji}$ i den opprinnelige matrisen $A$.
Eksempel på transponering av en matrise:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$