Kalkulator równań
Za pomocą tego kalkulatora można rozwiązać równanie liniowe, kwadratowe lub sześcienne online. Przykłady obliczeń można znaleźć w odpowiedniej sekcji.
Rozwiązywanie równań
Równanie – to równość z jedną zmienną (lub niewiadomą). Równanie z jedną zmienną $x$ w ogólnej formie zwykle zapisuje się w następujący sposób: $f(x) = g(x)$.
Rozwiązaniem (lub pierwiastkiem) równania nazywa się taką wartość zmiennej, dla której równanie staje się prawdziwą równością liczbową. Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie jego rozwiązania lub udowodnić, że ich nie ma.
Aby rozwiązać równanie za pomocą kalkulatora: najpierw należy wprowadzić część równania przed znakiem =, nacisnąć przycisk x=y, wprowadzić pozostałą część równania, nacisnąć przycisk =, aby wykonać obliczenia. Na przykład, dla równania $2x - 4 = 0$ pierwiastkiem jest $x = 2$. Oto jak uzyskano ten wynik przy użyciu kalkulatora równań:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Równania liniowe
Równanie liniowe z jedną niewiadomą to równanie następującej postaci:
$$ax + b = 0,$$
gdzie
- $x$ – niewiadoma,
- $a$ – współczynnik przy niewiadomej,
- $b$ – wyraz wolny równania.
Równania liniowe są najprostszym rodzajem równań algebraicznych, których rozwiązanie sprowadza się do wykonania prostych działań arytmetycznych.
Przykłady rozwiązywania:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Równania kwadratowe
Równaniem kwadratowym nazywa się równanie następującej postaci:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Rozwiązywanie równań kwadratowych na kalkulatorze:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Współczynniki
Istnieją takie równania kwadratowe, których współczynniki pozostają w stosunkach umożliwiających znacznie łatwiejsze rozwiązywanie tych równań.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Pierwiastki takich równań można znaleźć również za pomocą zwykłego kalkulatora.
Dyskryminanta
Dyskryminanta stosowana jest do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego. Wzór na obliczanie dyskryminanty:
$$D = b^2 - 4ac$$
Wzór na obliczanie pierwiastków przy użyciu dyskryminanty:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Jeśli $D > 0$, to równanie ma dwa różne pierwiastki. Na przykład:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Jeśli $D = 0$, to równanie ma jeden pierwiastek (lub dwa takie same pierwiastki). Na przykład:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Jeśli $D < 0$, to równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Twierdzenie Viète’a
Twierdzenie Viète’a ustanawia proste zależności algebraiczne (wzory Viète’a) między pierwiastkami $x_1, x_2$ równania kwadratowego a jego współczynnikami $a, b, c$. Korzystając z tych wzorów, można znaleźć pierwiastki, jeśli znane są współczynniki, lub obliczyć współczynniki, jeśli znane są pierwiastki.
Wzory Viète’a:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Równania biikwadratowe
Równaniem biikwadratowym nazywa się równanie następującej postaci:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Jeśli dokona się podstawienia $x^2$ na $y \ (y \ge 0)$, to otrzyma się równanie kwadratowe, dla którego można znaleźć pierwiastki $y_1, y_2$. Pierwiastki równania biikwadratowego znajduje się w następujący sposób:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Równania sześcienne
Równaniem sześciennym nazywa się równanie następującej postaci:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Przykład rozwiązania:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Jeśli równanie sześcienne podzieli się przez $a$ i zamieni $x$ na $y - \frac {b} {3a}$, to przyjmie ono następującą prostszą postać:
$$y^3 + py + q = 0,$$
gdzie
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Wzór Cardano
Jeśli równanie sześcienne ma następującą postać:
$$y^3 + py + q = 0,$$
to do znalezienia pierwiastków tego równania można zastosować wzór Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$