Kalkulator całek

Za pomocą tego kalkulatora będziesz mógł obliczyć całkę nieoznaczoną lub oznaczoną. Przykłady obliczeń można znaleźć w odpowiedniej sekcji.

Niektórych podstawowych całek nie trzeba obliczać, wystarczy znaleźć pierwiastek w tabeli.

Pierwiastek

Pierwiastek funkcji $f(x)$ to taka funkcja $F(x)$, której pochodna jest równa $f(x)$, to znaczy $F^{\prime}(x) = f(x)$. Znalezienie pierwiastka jest operacją odwrotną do różniczkowania.

Jeśli $F(x)$ jest pierwiastkiem dla $f(x)$, to funkcja $F(x) + C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą, również jest pierwiastkiem dla $f(x)$.

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona funkcji $f(x)$ to zbiór wszystkich jej pierwiastków. Oznaczamy to w następujący sposób:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

gdzie

$\int$ — znak całki
$f(x)$ — funkcja całkowana
$dx$ — element całkowania
$F(x)$ — pierwiastek
$C$ — stała całkowania

Operacja znajdowania całki nazywa się całkowaniem.

Właściwości

Podstawowe właściwości całki nieoznaczonej:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Przykłady obliczeń

Poniżej podano przykłady obliczania całek nieoznaczonych. Aby wykonać te obliczenia na kalkulatorze całek, należy kolejno nacisnąć przyciski wskazane pod każdym przykładem. Uwaga: wprowadź int w pustym polu pod ekranem kalkulatora, używając klawiatury swojego komputera.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Tabela całek

Tabela podstawowych całek nieoznaczonych i odpowiadających im pierwiastków:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Całka oznaczona

Jeśli $F(x)$ jest pierwiastkiem funkcji $f(x)$, która jest określona i ciągła na przedziale $[a;b]$, to całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Właściwości

Podstawowe właściwości całki oznaczonej:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Przykłady obliczeń

Poniżej podano przykłady obliczania całek oznaczonych. Aby wykonać te obliczenia na kalkulatorze, należy kolejno nacisnąć przyciski wskazane pod każdym przykładem. Uwaga: wprowadź int w pustym polu pod ekranem kalkulatora, używając klawiatury swojego komputera.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =