Kalkulator macierzy
Za pomocą tego kalkulatora będziesz mógł wykonać dodawanie, odejmowanie lub mnożenie macierzy, a także obliczyć wyznacznik macierzy. Aby wykonać wymagane obliczenia, należy kolejno nacisnąć przyciski wskazane pod przykładem w odpowiedniej sekcji.
Transpozycję macierzy można łatwo wykonać nawet bez kalkulatora, po prostu postępując zgodnie z szczegółową instrukcją.
Co to jest macierz w matematyce
Macierz to prostokątna tablica dowolnych elementów (liczb, symboli lub wyrażeń) składająca się z $m$ wierszy i $n$ kolumn. Każdy element macierzy znajduje się na przecięciu określonego wiersza i kolumny.
Macierz zwykle oznacza się dużą literą, na przykład $A$. Pojedyncze elementy macierzy oznaczane są za pomocą indeksów, na przykład $a_{12}$ to element znajdujący się w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Rozmiar macierzy oznaczany jest jako $m \times n$. Na przykład, macierz rozmiaru $3 \times 4$ będzie miała 3 wiersze i 4 kolumny. Liczbę elementów w macierzy można ustalić mnożąc $m$ przez $n$ na zwykłym kalkulatorze: $3 \cdot 4 = 12$.
Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dodawanie i odejmowanie macierzy są to operacje, podczas których odpowiednie elementy macierzy są dodawane lub odejmowane. Przy tym konieczne jest, aby macierze miały taki sam rozmiar, czyli taką samą liczbę wierszy i kolumn.
Przykład dodawania macierzy:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Przykład odejmowania macierzy:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Mnożenie macierzy
Mnożenie dwóch macierzy to operacja obliczania nowej macierzy, która nazywana jest iloczynem macierzy. Każdy element tej macierzy jest równy sumie iloczynów elementów w odpowiednich wierszach pierwszej macierzy i kolumnach drugiej macierzy. Do mnożenia macierzy konieczne jest, aby liczba kolumn w pierwszej macierzy była równa liczbie wierszy w drugiej macierzy.
Przykład mnożenia macierzy:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Wyznacznik macierzy
Wyznacznik macierzy ($det(A)$ lub $|A|$) to wielkość, która charakteryzuje właściwości kwadratowej macierzy.
Przykład obliczania wyznacznika (det należy wprowadzić do pustego pola pod ekranem kalkulatora, używając klawiatury swojego komputera):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transpozycja macierzy
Transpozycja to operacja, w której wiersze i kolumny macierzy wyjściowej są zamieniane miejscami, tj. wiersze stają się kolumnami, a kolumny wierszami. Jeśli $A$ to macierz wyjściowa, to macierz transponowana oznaczana jest jako $A^T$. Jeśli macierz wyjściowa $A$ ma rozmiar $m \times n$, to macierz transponowana $A^T$ będzie miała rozmiar $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Aby uzyskać macierz transponowaną $A^T$, należy zamienić miejscami wiersze i kolumny macierzy wyjściowej $A$. W tym celu należy wykonać następujące czynności.
Wziąć elementy pierwszego wiersza od $a_{11}$ do $a_{1n}$ i zapisać je jako pierwszą kolumnę macierzy transponowanej $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Wziąć elementy drugiego wiersza od $a_{21}$ do $a_{2n}$ i zapisać je jako drugą kolumnę $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Powtarzać ten krok dla wszystkich wierszy macierzy $A$, dopóki nie zostaną zapisane jako kolumny $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
W ten sposób, elementy $a^T_{ij}$ macierzy transponowanej $A^T$ odpowiadają elementom $a_{ji}$ macierzy wyjściowej $A$.
Przykład transpozycji macierzy:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$