Calculadora de Equações
Com esta calculadora, você poderá resolver equações lineares, quadráticas ou cúbicas online. Exemplos de cálculos podem ser encontrados na seção correspondente.
Resolução de Equações
Uma equação é uma igualdade com uma variável (ou incógnita). Uma equação com uma variável $x$ geralmente é escrita da seguinte forma: $f(x) = g(x)$.
A solução (ou raiz) de uma equação é o valor da variável que a transforma em uma igualdade numérica verdadeira. Resolver uma equação significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não existem soluções.
Como resolver uma equação na calculadora: primeiro, insira a parte da equação antes do sinal =, pressione o botão x=y, insira a parte restante da equação, pressione o botão = para realizar os cálculos. Por exemplo, para a equação $2x - 4 = 0$, a raiz é $x = 2$. Eis como esse resultado foi obtido usando a calculadora de equações:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Equações Lineares
Uma equação linear com uma incógnita é uma equação da seguinte forma:
$$ax + b = 0,$$
onde
- $x$ é a incógnita,
- $a$ é o coeficiente da incógnita,
- $b$ é o termo constante da equação.
Equações lineares são o tipo mais simples de equações algébricas, cuja resolução se resume a executar operações aritméticas básicas.
Exemplos de soluções:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Equações Quadráticas
Uma equação quadrática é uma equação da seguinte forma:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Resolvendo equações quadráticas na calculadora:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Relações entre Coeficientes
Existem equações quadráticas cujos coeficientes possuem relações que permitem resolvê-las de forma muito mais simples.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
As raízes dessas equações também podem ser encontradas usando uma calculadora comum.
Discriminante
O discriminante é usado para encontrar as raízes de uma equação quadrática. A fórmula para calcular o discriminante é:
$$D = b^2 - 4ac$$
A fórmula para calcular as raízes usando o discriminante:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Se $D > 0$, a equação tem duas raízes distintas. Por exemplo:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Se $D = 0$, a equação tem uma raiz (ou duas raízes iguais). Por exemplo:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Se $D < 0$, a equação não tem raízes no conjunto dos números reais:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema de Vieta
O Teorema de Vieta estabelece relações algébricas simples (fórmulas de Vieta) entre as raízes $x_1, x_2$ de uma equação quadrática e seus coeficientes $a, b, c$. Usando essas fórmulas, é possível encontrar as raízes se os coeficientes forem conhecidos, ou calcular os coeficientes se as raízes forem conhecidas.
Fórmulas de Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Equações Biquadráticas
Uma equação biquadrática é uma equação da seguinte forma:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Se fizermos a substituição $x^2$ por $y \ (y \ge 0)$, obteremos uma equação quadrática, para a qual podemos encontrar as raízes $y_1, y_2$. As raízes da equação biquadrática são encontradas da seguinte forma:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Equações Cúbicas
Uma equação cúbica é uma equação da seguinte forma:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Exemplo de solução:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Se dividirmos a equação cúbica por $a$ e substituirmos $x$ por $y - \frac {b} {3a}$, ela assumirá a seguinte forma mais simples:
$$y^3 + py + q = 0,$$
onde
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Fórmula de Cardano
Se uma equação cúbica tiver a seguinte forma:
$$y^3 + py + q = 0,$$
então para encontrar as raízes dessa equação, podemos aplicar a fórmula de Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$