Calculadora de integrais

Com esta calculadora, você poderá calcular uma integral indefinida ou definida. Exemplos de cálculos podem ser encontrados na seção correspondente.

Algumas integrais básicas podem ser encontradas diretamente na tabela de antiderivadas, sem a necessidade de calcular.

Antiderivada

A antiderivada de uma função $f(x)$ é uma função $F(x)$ cuja derivada é igual a $f(x)$, ou seja, $F^{\prime}(x) = f(x)$. Encontrar a antiderivada é a operação inversa da diferenciação.

Se $F(x)$ é uma antiderivada de $f(x)$, então a função $F(x) + C$, onde $C$ é uma constante arbitrária, também é uma antiderivada de $f(x)$.

Integral indefinida

A integral indefinida de uma função $f(x)$ é o conjunto de todas as suas antiderivadas. Isso é denotado da seguinte forma:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

onde

$\int$ é o sinal de integral
$f(x)$ é a função integranda
$dx$ é o elemento de integração
$F(x)$ é a antiderivada
$C$ é a constante de integração

A operação de encontrar a integral é chamada de integração.

Propriedades

As principais propriedades da integral indefinida são:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Exemplos de cálculo

Abaixo estão exemplos de cálculos de integrais indefinidas. Para realizar esses cálculos na calculadora de integrais, você precisa pressionar sequencialmente os botões indicados abaixo de cada exemplo. Nota: digite int no campo vazio abaixo da tela da calculadora, usando o teclado do seu computador.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Tabela de integrais

Tabela de integrais indefinidas básicas e suas respectivas antiderivadas:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Integral definida

Se $F(x)$ é uma antiderivada de uma função $f(x)$ que é definida e contínua no intervalo $[a;b]$, então a integral definida é calculada pela fórmula:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Propriedades

As principais propriedades da integral definida são:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Exemplos de cálculo

Abaixo estão exemplos de cálculos de integrais definidas. Para realizar esses cálculos na calculadora, você precisa pressionar sequencialmente os botões indicados abaixo de cada exemplo. Nota: digite int no campo vazio abaixo da tela da calculadora, usando o teclado do seu computador.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =