Calculadora de matrizes
Com esta calculadora, você poderá realizar a adição, subtração ou multiplicação de matrizes, bem como calcular o determinante de uma matriz. Para realizar os cálculos necessários, você deve pressionar sequencialmente os botões indicados sob o exemplo na respectiva seção.
A transposição de uma matriz pode ser facilmente realizada mesmo sem uma calculadora, basta seguir as instruções detalhadas.
O que é uma matriz em matemática
Uma matriz é uma tabela retangular de quaisquer elementos (números, símbolos ou expressões), consistindo de $m$ linhas e $n$ colunas. Cada elemento da matriz está localizado na interseção de uma determinada linha e coluna.
Uma matriz é geralmente denotada por uma letra maiúscula, como $A$. Os elementos individuais da matriz são denotados usando índices, por exemplo, $a_{12}$ é o elemento localizado na primeira linha e segunda coluna.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
O tamanho de uma matriz é denotado como $m \times n$. Por exemplo, uma matriz de tamanho $3 \times 4$ terá 3 linhas e 4 colunas. O número de elementos em uma matriz pode ser encontrado multiplicando $m$ por $n$ em uma calculadora comum: $3 \cdot 4 = 12$.
Adição e subtração de matrizes
A adição e subtração de matrizes são operações nas quais os elementos correspondentes das matrizes são somados ou subtraídos. Para isso, é necessário que as matrizes tenham o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas.
Exemplo de adição de matrizes:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Exemplo de subtração de matrizes:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes é uma operação de cálculo de uma nova matriz, chamada produto de matrizes. Cada elemento desta matriz é igual à soma dos produtos dos elementos na linha correspondente da primeira matriz e na coluna correspondente da segunda matriz. Para multiplicar matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo de multiplicação de matrizes:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz ($det(A)$ ou $|A|$) é um valor que caracteriza as propriedades de uma matriz quadrada.
Exemplo de cálculo do determinante (det deve ser inserido no campo vazio abaixo da tela da calculadora, usando o teclado do seu computador):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transposição de uma matriz
A transposição é uma operação na qual as linhas e colunas da matriz original são trocadas, ou seja, as linhas se tornam colunas e as colunas se tornam linhas. Se $A$ é a matriz original, então a matriz transposta é denotada por $A^T$. Se a matriz original $A$ tem tamanho $m \times n$, então a matriz transposta $A^T$ terá tamanho $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Para obter a matriz transposta $A^T$, é necessário trocar as linhas e colunas da matriz original $A$. Para isso, você deve executar as seguintes etapas.
Pegue os elementos da primeira linha de $a_{11}$ a $a_{1n}$ e escreva-os como a primeira coluna da matriz transposta $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Pegue os elementos da segunda linha de $a_{21}$ a $a_{2n}$ e escreva-os como a segunda coluna de $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Repita esta etapa para todas as linhas da matriz $A$, até que elas sejam escritas como colunas de $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Assim, os elementos $a^T_{ij}$ da matriz transposta $A^T$ correspondem aos elementos $a_{ji}$ da matriz original $A$.
Exemplo de transposição de uma matriz:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$