Calculator ecuații
Cu ajutorul acestui calculator puteți rezolva online o ecuație liniară, patrată sau cubică. Exemple de calcule pot fi găsite în secțiunea corespunzătoare.
Rezolvarea ecuațiilor
O ecuație este o egalitate cu o variabilă (sau necunoscută). O ecuație cu o singură variabilă $x$ în formă generală este de obicei scrisă astfel: $f(x) = g(x)$.
Soluția (sau rădăcina) unei ecuații este acea valoare a variabilei pentru care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate soluțiile sale sau a demonstra că nu are soluții.
Cum se rezolvă o ecuație pe calculator: mai întâi introduceți partea ecuației înainte de semnul =, apăsați butonul x=y, introduceți restul ecuației, apăsați butonul = pentru a efectua calculele. De exemplu, pentru ecuația $2x - 4 = 0$, rădăcina este $x = 2$. Iată cum a fost obținut acest rezultat folosind calculatorul de ecuații:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Ecuații liniare
O ecuație liniară cu o necunoscută este o ecuație de forma următoare:
$$ax + b = 0,$$
unde
- $x$ este necunoscuta,
- $a$ este coeficientul necunoscutei,
- $b$ este termenul liber al ecuației.
Ecuațiile liniare sunt cel mai simplu tip de ecuații algebrice, rezolvarea lor reducându-se la efectuarea unor operații aritmetice simple.
Exemple de rezolvare:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Ecuații pătratice
O ecuație patrată este o ecuație de forma următoare:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Rezolvarea ecuațiilor pătratice pe calculator:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Relații între coeficienți
Există anumite ecuații pătratice ale căror coeficienți se află în relații care permit rezolvarea acestor ecuații mult mai ușor.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Rădăcinile acestor ecuații pot fi găsite și cu ajutorul unui calculator obișnuit.
Discriminantul
Discriminantul este folosit pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Formula de calcul a discriminantului este:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formula de calcul a rădăcinilor folosind discriminantul:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Dacă $D > 0$, atunci ecuația are două rădăcini distincte. De exemplu:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Dacă $D = 0$, atunci ecuația are o singură rădăcină (sau două rădăcini egale). De exemplu:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Dacă $D < 0$, atunci ecuația nu are rădăcini în mulțimea numerelor reale:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema lui Viète
Teorema lui Viète stabilește relații algebrice simple (formulele lui Viète) între rădăcinile $x_1, x_2$ ale unei ecuații pătratice și coeficienții $a, b, c$ ai acesteia. Folosind aceste formule, se pot găsi rădăcinile dacă sunt cunoscuți coeficienții sau se pot calcula coeficienții dacă sunt cunoscute rădăcinile.
Formulele lui Viète:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Ecuații bicuadratice
O ecuație bicuadratică este o ecuație de forma următoare:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Dacă se face substituția $x^2$ cu $y \ (y \ge 0)$, se obține o ecuație patrată pentru care se pot găsi rădăcinile $y_1, y_2$. Rădăcinile ecuației bicuadratice se găsesc astfel:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Ecuații cubice
O ecuație cubică este o ecuație de forma următoare:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Exemplu de rezolvare:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Dacă ecuația cubică este împărțită la $a$ și $x$ este substituit cu $y - \frac {b} {3a}$, aceasta ia următoarea formă mai simplă:
$$y^3 + py + q = 0,$$
unde
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Formula lui Cardano
Dacă o ecuație cubică are forma:
$$y^3 + py + q = 0,$$
atunci pentru a găsi rădăcinile acestei ecuații se poate aplica formula lui Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$