Calculator integrale

Cu ajutorul acestui calculator, puteți calcula integrala nedeterminată sau determinată. Exemplele de calcule pot fi găsite în secțiunea corespunzătoare.

Unele integrale de bază pot fi găsite direct în tabel, fără a fi necesară calcularea primitivei.

Primitivă

Primitiva pentru o funcție $f(x)$ este o astfel de funcție $F(x)$ a cărei derivată este egală cu $f(x)$, adică $F^{\prime}(x) = f(x)$. Găsirea primitivei este operația inversă diferențierii.

Dacă $F(x)$ este o primitivă pentru $f(x)$, atunci funcția $F(x) + C$, unde $C$ este o constantă arbitrară, este, de asemenea, o primitivă pentru $f(x)$.

Integrala nedeterminată

Integrala nedeterminată pentru o funcție $f(x)$ este mulțimea tuturor primitivelor acestei funcții. Aceasta este notată în felul următor:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

unde

$\int$ - semnul integralei
$f(x)$ - funcția integrată
$dx$ - elementul de integrare
$F(x)$ - primitiva
$C$ - constanta de integrare

Operația de găsire a integralei se numește integrare.

Proprietăți

Proprietățile principale ale integralei nedeterminate:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

Exemple de calcul

Mai jos sunt prezentate exemple de calcul al integralelor nedeterminate. Pentru a efectua aceste calcule pe calculatorul de integrale, trebuie să apăsați succesiv butoanele indicate sub fiecare exemplu. Notă: introduceți int în câmpul gol de sub ecranul calculatorului folosind tastatura computerului dvs.

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

Tabelul integralelor

Tabelul integralelor nedeterminate de bază și al primitivelor lor corespunzătoare:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

Integrala determinată

Dacă $F(x)$ este primitiva pentru funcția $f(x)$, care este definită și continuă pe segmentul $[a;b]$, atunci integrala determinată se calculează după formula:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

Proprietăți

Proprietățile principale ale integralei determinate:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

Exemple de calcul

Mai jos sunt prezentate exemple de calcul al integralelor determinate. Pentru a efectua aceste calcule pe calculator, trebuie să apăsați succesiv butoanele indicate sub fiecare exemplu. Notă: introduceți int în câmpul gol de sub ecranul calculatorului folosind tastatura computerului dvs.

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =