Calculator matrice
Cu ajutorul acestui calculator, veți putea aduna, scădea sau înmulți matrice, precum și calcula determinantul unei matrice. Pentru a efectua calculele necesare, trebuie să apăsați succesiv pe butoanele indicate sub exemplul din secțiunea corespunzătoare.
Transpunerea unei matrice poate fi efectuată cu ușurință chiar și fără calculator, doar urmând instrucțiunile detaliate.
Ce este o matrice în matematică
O matrice este un tabel dreptunghiular de elemente (numere, simboluri sau expresii), format din $m$ rânduri și $n$ coloane. Fiecare element al matricei este plasat la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane.
O matrice este de obicei notată cu o literă majusculă, de exemplu $A$. Elementele individuale ale matricei sunt notate cu indici, de exemplu $a_{12}$ este elementul situat pe primul rând și a doua coloană.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Dimensiunea unei matrice este notată ca $m \times n$. De exemplu, o matrice de dimensiune $3 \times 4$ va avea 3 rânduri și 4 coloane. Numărul de elemente dintr-o matrice poate fi aflat înmulțind $m$ cu $n$ pe un calculator obișnuit: $3 \cdot 4 = 12$.
Adunarea și scăderea matricelor
Adunarea și scăderea matricelor sunt operații în care elementele corespunzătoare ale matricelor sunt adunate sau scăzute. În acest caz, este necesar ca matricele să aibă aceeași dimensiune, adică să aibă același număr de rânduri și coloane.
Exemplu de adunare a matricelor:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Exemplu de scădere a matricelor:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Înmulțirea matricelor
Înmulțirea a două matrice este operația de calculare a unei noi matrice, numită produsul matricelor. Fiecare element al acestei matrice este egal cu suma produselor elementelor de pe rândul corespunzător al primei matrice cu elementele de pe coloana corespunzătoare a celei de-a doua matrice. Pentru înmulțirea matricelor, este necesar ca numărul de coloane din prima matrice să fie egal cu numărul de rânduri din a doua matrice.
Exemplu de înmulțire a matricelor:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinantul unei matrice
Determinantul unei matrice ($det(A)$ sau $|A|$) este o valoare care caracterizează proprietățile unei matrice pătrate.
Exemplu de calcul al determinantului (det trebuie introdus în câmpul gol de sub ecranul calculatorului, folosind tastatura computerului dvs.):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transpunerea unei matrice
Transpunerea este operația în care rândurile și coloanele matricei inițiale schimbă locurile, adică rândurile devin coloane, iar coloanele devin rânduri. Dacă $A$ este matricea inițială, atunci matricea transpusă este notată cu $A^T$. Dacă matricea inițială $A$ are dimensiunea $m \times n$, atunci matricea transpusă $A^T$ va avea dimensiunea $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Pentru a obține matricea transpusă $A^T$, este necesar să schimbăm locurile rândurilor și coloanelor matricei inițiale $A$. Pentru aceasta, trebuie să urmați pașii următori.
Luați elementele din primul rând de la $a_{11}$ la $a_{1n}$ și înregistrați-le ca prima coloană a matricei transpuse $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Luați elementele din al doilea rând de la $a_{21}$ la $a_{2n}$ și înregistrați-le ca a doua coloană a $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Repetați acest pas pentru toate rândurile matricei $A$, până când acestea sunt înregistrate ca coloane ale $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Astfel, elementele $a^T_{ij}$ ale matricei transpuse $A^T$ corespund elementelor $a_{ji}$ ale matricei inițiale $A$.
Exemplu de transpunere a unei matrice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$