Калькулятор уравнений
С помощью этого калькулятора вы сможете решить линейное, квадратное или кубическое уравнение онлайн. Примеры вычислений можно найти в соответствующем разделе.
Решение уравнений
Уравнение — это равенство с переменной (или неизвестной). Уравнение с одной переменной $x$ в общем виде обычно записывается таким образом: $f(x) = g(x)$.
Решением (или корнем) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Как решить уравнение на калькуляторе: сначала ввести часть уравнения до знака =, нажать кнопку x=y, ввести оставшуюся часть уравнения, нажать кнопку =, чтобы произвести вычисления. Например, для уравнения $2x - 4 = 0$ корнем является $x = 2$. Вот как этот результат был получен с помощью калькулятора уравнений:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Линейные уравнения
Линейное уравнение с одной неизвестной — это уравнение следующего вида:
$$ax + b = 0,$$
где
- $x$ — неизвестная,
- $a$ — коэффициент при неизвестной,
- $b$ — свободный член уравнения.
Линейные уравнения являются простейшим видом алгебраических уравнений, решение которых сводится к выполнению простых арифметических действий.
Примеры решения:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Квадратные уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Решение квадратных уравнений на калькуляторе:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Соотношения коэффициентов
Существуют такие квадратные уравнения, у которых коэффициенты находятся в соотношениях, позволяющих решать эти уравнения гораздо проще.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Корни таких уравнений можно найти и с помощью обычного калькулятора.
Дискриминант
Дискриминант применяется для нахождения корней квадратного уравнения. Формула вычисления дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac$$
Формула вычисления корней с использованием дискриминанта:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных корня. Например:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня). Например:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Если $D < 0$, то уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Теорема Виета
Теорема Виета устанавливает простые алгебраические соотношения (формулы Виета) между корнями квадратного уравнения $x_1, x_2$ и его коэффициентами $a, b, c$. Используя эти формулы, можно найти корни, если известны коэффициенты, или вычислить коэффициенты, если известны корни.
Формулы Виета:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется уравнение следующего вида:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Если произвести замену $x^2$ на $y \ (y \ge 0)$, то получится квадратное уравнение, для которого можно найти корни $y_1, y_2$. Корни биквадратного уравнения находятся так:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Кубические уравнения
Кубическим уравнением называется уравнение следующего вида:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Пример решения:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Если кубическое уравнение разделить на $a$ и заменить $x$ на $y - \frac {b} {3a}$, то оно примет следующий более простой вид:
$$y^3 + py + q = 0,$$
где
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Формула Кардано
Если кубическое уравнение имеет следующий вид:
$$y^3 + py + q = 0,$$
то для нахождения корней этого уравнения можно применить формулу Кардано:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$