Калькулятор интегралов
С помощью этого калькулятора вы сможете вычислить неопределённый или определённый интеграл. Примеры вычислений можно найти в соответствующем разделе.
Некоторые основные интегралы можно не вычислять, а сразу найти первообразную в таблице.
Первообразная
Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F^{\prime}(x) = f(x)$. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию.
Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то функция $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, тоже является первообразной для $f(x)$.
Неопределённый интеграл
Неопределённый интеграл для функции $f(x)$ — это совокупность всех первообразных этой функции. Обозначается это так:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
где
- $\int$ — знак интеграла,
- $f(x)$ — подынтегральная функция,
- $dx$ — элемент интегрирования,
- $F(x)$ — первообразная,
- $C$ — постоянная интегрирования.
Операция нахождения интеграла называется интегрированием.
Свойства
Основные свойства неопределённого интеграла:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Примеры вычисления
Ниже приведены примеры вычисления неопределённых интегралов. Чтобы произвести эти вычисления на калькуляторе интегралов, необходимо последовательно нажать на кнопки, указанные под каждым примером. Примечание: введите int в пустое поле под экраном калькулятора, используя клавиатуру вашего компьютера.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Таблица интегралов
Таблица основных неопределённых интегралов и соответствующих им первообразных:
$\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
---|---|
$$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
$$\int dx$$ | $$x + C$$ |
$$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
$$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
$$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
$$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
$$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
$$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
$$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
$$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Определённый интеграл
Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, которая определена и непрерывна на отрезке $[a;b]$, то определённый интеграл вычисляется по формуле:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Свойства
Основные свойства определённого интеграла:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Примеры вычисления
Ниже приведены примеры вычисления определённых интегралов. Для выполнения этих вычислений на калькуляторе нужно последовательно нажать на кнопки, указанные под каждым примером. Примечание: введите int в пустое поле под экраном калькулятора с помощью клавиатуры вашего компьютера.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =