Калькулятор матриц
С помощью этого калькулятора вы сможете выполнить сложение, вычитание или умножение матриц, а также вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы выполнить необходимые вычисления, нужно последовательно нажать на кнопки, указанные под примером в соответствующем разделе.
Транспонирование матрицы можно легко произвести даже без калькулятора, просто воспользуйтесь подробной инструкцией.
Что такое матрица в математике
Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов (чисел, символов или выражений), состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. Каждый элемент матрицы располагается на пересечении определенной строки и столбца.
Матрица обычно обозначается заглавной буквой, например, $A$. Отдельные элементы матрицы обозначаются с помощью индексов, например, $a_{12}$ — элемент, расположенный в первой строке и втором столбце.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Размер матрицы обозначается как $m \times n$. Например, матрица размера $3 \times 4$ будет иметь 3 строки и 4 столбца. Количество элементов в матрице можно узнать, умножив $m$ на $n$ на обычном калькуляторе: $3 \cdot 4 = 12$.
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц — это операции, при которых соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются. При этом необходимо, чтобы матрицы имели одинаковый размер, то есть у них было одинаковое количество строк и столбцов.
Пример сложения матриц:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Пример вычитания матриц:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Умножение матриц
Умножение двух матриц — это операция вычисления новой матрицы, которая называется произведением матриц. Каждый элемент этой матрицы равен сумме произведений элементов в соответствующих строке первой матрицы и столбце второй матрицы. Для умножения матриц необходимо, чтобы число столбцов в первой матрице равнялось числу строк во второй матрице.
Пример умножения матриц:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Определитель матрицы
Определитель матрицы ($det(A)$ или $|A|$) — это величина, которая характеризует свойства квадратной матрицы.
Пример вычисления определителя (det необходимо ввести в пустое поле под экраном калькулятора, используя клавиатуру вашего компьютера):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Транспонирование матрицы
Транспонирование — это операция, при которой строки и столбцы исходной матрицы меняются местами, то есть строки становятся столбцами, а столбцы — строками. Если $A$ — исходная матрица, то транспонированная матрица обозначается как $A^T$. Если исходная матрица $A$ имеет размер $m \times n$, то транспонированная матрица $A^T$ будет иметь размер $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, необходимо поменять местами строки и столбцы исходной матрицы $A$. Для этого нужно выполнить следующие действия.
Взять элементы первой строки от $a_{11}$ до $a_{1n}$ и записать их как первый столбец транспонированной матрицы $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Взять элементы второй строки от $a_{21}$ до $a_{2n}$ и записать их как второй столбец $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Повторять этот шаг для всех строк матрицы $A$, пока они не будут записаны как столбцы $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Таким образом, элементы $a^T_{ij}$ транспонированной матрицы $A^T$ соответствуют элементам $a_{ji}$ исходной матрицы $A$.
Пример транспонирования матрицы:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$