Kalkulačka rovníc
Pomocou tejto kalkulačky budete môcť online vyriešiť lineárnu, kvadratickú alebo kubickú rovnicu. Príklady výpočtov nájdete v príslušnej časti.
Riešenie rovníc
Rovnica je rovnosť s premennou (alebo neznámou). Rovnica s jednou premennou $x$ sa všeobecne zapisuje takto: $f(x) = g(x)$.
Riešením (alebo koreňom) rovnice je taká hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica zmení na správnu číselnu rovnosť. Vyriešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej riešenia alebo dokázať, že žiadne nemá.
Ako vyriešiť rovnicu na kalkulačke: najskôr zadajte časť rovnice pred znamienkom =, stlačte tlačidlo x=y, zadajte zvyšnú časť rovnice, stlačte tlačidlo = a vykonajte výpočet. Napríklad pre rovnicu $2x - 4 = 0$ je koreňom $x = 2$. Takto bol tento výsledok získaný pomocou kalkulačky rovníc:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Lineárne rovnice
Lineárna rovnica s jednou neznámou je rovnica nasledujúceho tvaru:
$$ax + b = 0,$$
kde
- $x$ je neznáma,
- $a$ je koeficient pri neznámej,
- $b$ je absolútny člen rovnice.
Lineárne rovnice sú najjednoduchším druhom algebraických rovníc, pričom ich riešenie spočíva vo vykonaní jednoduchých aritmetických operácií.
Príklady riešení:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratické rovnice
Kvadratickou rovnicou sa nazýva rovnica nasledujúceho tvaru:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Riešenie kvadratických rovníc na kalkulačke:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Pomery koeficientov
Existujú také kvadratické rovnice, ktorých koeficienty sú v pomeroch umožňujúcich riešiť tieto rovnice oveľa jednoduchšie.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Korene takýchto rovníc možno nájsť aj pomocou bežnej kalkulačky.
Diskriminant
Diskriminant sa používa na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Vzorec pre výpočet diskriminantu:
$$D = b^2 - 4ac$$
Vzorec pre výpočet koreňov s použitím diskriminantu:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Ak $D > 0$, rovnica má dva rôzne korene. Napríklad:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Ak $D = 0$, rovnica má jeden koreň (alebo dva zhodné korene). Napríklad:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Ak $D < 0$, rovnica nemá žiadne korene v množine reálnych čísel:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietova veta
Vietova veta ustanovuje jednoduché algebraické vzťahy (Vietove vzorce) medzi koreňmi kvadratickej rovnice $x_1, x_2$ a jej koeficientmi $a, b, c$. Použitím týchto vzorcov možno nájsť korene, ak sú známe koeficienty, alebo vypočítať koeficienty, ak sú známe korene.
Vietove vzorce:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratické rovnice
Bikvadratickou rovnicou sa nazýva rovnica nasledujúceho tvaru:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Ak urobíme substitúciu $x^2$ za $y \ (y \ge 0)$, dostaneme kvadratickú rovnicu, pre ktorú možno nájsť korene $y_1, y_2$. Korene bikvadratickej rovnice sa potom nájdu takto:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubické rovnice
Kubickou rovnicou sa nazýva rovnica nasledujúceho tvaru:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Príklad riešenia:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Ak kubickú rovnicu vydelíme $a$ a nahradíme $x$ za $y - \frac {b} {3a}$, dostaneme jednoduchší tvar:
$$y^3 + py + q = 0,$$
kde
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanová formula
Ak má kubická rovnica tvar:
$$y^3 + py + q = 0,$$
potom na nájdenie jej koreňov možno použiť Cardanovu formulu:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$