Kalkulačka matíc
Pomocou tejto kalkulačky môžete sčítať, odčítať alebo vynásobiť matice, ako aj vypočítať determináciu matice. Ak chcete vykonať požadované výpočty, postupne kliknite na tlačidlá uvedené v príklade v príslušnej časti.
Transpozíciu matice môžete ľahko vykonať aj bez kalkulačky, stačí použiť podrobný návod.
Čo je matica v matematike
Matica je obdĺžniková tabuľka akýchkoľvek prvkov (čísel, symbolov alebo výrazov), ktorá sa skladá z $m$ riadkov a $n$ stĺpcov. Každý prvok matice sa nachádza na priesečníku určitého riadka a stĺpca.
Matica sa zvyčajne označuje veľkým písmenom, napríklad $A$. Jednotlivé prvky matice sa označujú pomocou indexov, napríklad $a_{12}$ je prvok, ktorý sa nachádza v prvom riadku a druhom stĺpci.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Veľkosť matice sa označuje ako $m \times n$. Napríklad matica veľkosti $3 \times 4$ bude mať 3 riadky a 4 stĺpce. Počet prvkov v matici môžete zistiť vynásobením $m$ a $n$ na bežnej kalkulačke: $3 \cdot 4 = 12$.
Sčítanie a odčítanie matíc
Sčítanie a odčítanie matíc sú operácie, pri ktorých sa príslušné prvky matíc sčítajú alebo odčítajú. Pritom je však nutné, aby mali matice rovnakú veľkosť, teda aby mali rovnaký počet riadkov a stĺpcov.
Príklad sčítania matíc:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Príklad odčítania matíc:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Násobenie matíc
Násobenie dvoch matíc je operácia výpočtu novej matice, ktorá sa nazýva súčin matíc. Každý prvok tejto matice je rovný súčtu súčinov prvkov v príslušnom riadku prvej matice a stĺpci druhej matice. Na násobenie matíc je potrebné, aby počet stĺpcov v prvej matici bol rovnaký ako počet riadkov v druhej matici.
Príklad násobenia matíc:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinácia matice
Determinácia matice ($det(A)$ alebo $|A|$) je veličina, ktorá charakterizuje vlastnosti štvorcovej matice.
Príklad výpočtu determinácie (det je potrebné zadať do prázdneho poľa pod obrazovkou kalkulačky pomocou klávesnice vášho počítača):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transpozícia matice
Transpozícia je operácia, pri ktorej sa riadky a stĺpce pôvodnej matice vymenia, to znamená, že riadky sa stanú stĺpcami a stĺpce riadkami. Ak $A$ je pôvodná matica, potom transponovaná matica sa označuje ako $A^T$. Ak má pôvodná matica $A$ veľkosť $m \times n$, potom transponovaná matica $A^T$ bude mať veľkosť $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Na získanie transponovanej matice $A^T$ je potrebné vymeniť riadky a stĺpce pôvodnej matice $A$. Na to je potrebné vykonať nasledujúce kroky.
Vezmite prvky prvého riadka od $a_{11}$ po $a_{1n}$ a zapíšte ich ako prvý stĺpec transponovanej matice $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Vezmite prvky druhého riadka od $a_{21}$ po $a_{2n}$ a zapíšte ich ako druhý stĺpec $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Opakujte tento krok pre všetky riadky matice $A$, kým sa nezapíšu ako stĺpce $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Takto budú prvky $a^T_{ij}$ transponovanej matice $A^T$ zodpovedať prvkom $a_{ji}$ pôvodnej matice $A$.
Príklad transpozície matice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$