Kalkulator matrica
Pomoću ovog kalkulatora možete da saberate, oduzmete ili pomnožite matrice, kao i da izračunate determinantu matrice. Da biste izvršili potrebna izračunavanja, potrebno je da redom pritisnete dugmad naznačena u primeru u odgovarajućem odeljku.
Transponovanje matrice možete lako izvršiti čak i bez kalkulatora, samo koristite detaljna uputstva.
Šta je matrica u matematici
Matrica je pravougaona tabela nekih elemenata (brojeva, simbola ili izraza), koja se sastoji od $m$ redova i $n$ kolona. Svaki element matrice nalazi se na preseku određenog reda i kolone.
Matrica se obično označava velikim slovom, na primer, $A$. Pojedinačni elementi matrice se označavaju pomoću indeksa, na primer, $a_{12}$ - element koji se nalazi u prvom redu i drugoj koloni.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Veličina matrice se označava kao $m \times n$. Na primer, matrica veličine $3 \times 4$ imaće 3 reda i 4 kolone. Broj elemenata u matrici se može saznati množenjem $m$ sa $n$ na običnom kalkulatoru: $3 \cdot 4 = 12$.
Sabiranje i oduzimanje matrica
Sabiranje i oduzimanje matrica su operacije u kojima se odgovarajući elementi matrica sabiraju ili oduzimaju. Pri tome je neophodno da matrice imaju istu veličinu, tj. da imaju isti broj redova i kolona.
Primer sabiranja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Primer oduzimanja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Množenje matrica
Množenje dve matrice je operacija izračunavanja nove matrice koja se naziva proizvod matrica. Svaki element te matrice jednak je zbiru proizvoda elemenata u odgovarajućim redu prve matrice i koloni druge matrice. Za množenje matrica neophodno je da broj kolona u prvoj matrici bude jednak broju redova u drugoj matrici.
Primer množenja matrica:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinanta matrice
Determinanta matrice ($det(A)$ ili $|A|$) je veličina koja karakteriše svojstva kvadratne matrice.
Primer izračunavanja determinante (det je potrebno uneti u prazno polje ispod ekrana kalkulatora, koristeći tastaturu vašeg računara):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponovanje matrice
Transponovanje je operacija u kojoj se redovi i kolone polazne matrice zamenjuju mestima, tj. redovi postaju kolone, a kolone postaju redovi. Ako je $A$ polazna matrica, onda se transponovana matrica označava kao $A^T$. Ako polazna matrica $A$ ima veličinu $m \times n$, onda će transponovana matrica $A^T$ imati veličinu $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Da biste dobili transponovanu matricu $A^T$, potrebno je da zamenite mesta redovima i kolonama polazne matrice $A$. Za to treba da uradite sledeće.
Uzmite elemente prvog reda od $a_{11}$ do $a_{1n}$ i zapišite ih kao prvu kolonu transpovovane matrice $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Uzmite elemente drugog reda od $a_{21}$ do $a_{2n}$ i zapišite ih kao drugu kolonu $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Ponavljajte ovaj korak za sve redove matrice $A$, dok se oni ne zapišu kao kolone $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Tako će elementi $a^T_{ij}$ transpovovane matrice $A^T$ odgovarati elementima $a_{ji}$ polazne matrice $A$.
Primer transponovanja matrice:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$