Ekvationskalkylatorn
Med hjälp av den här kalkylatorn kan du lösa linjära, kvadratiska eller kubiska ekvationer online. Beräkningsexempel finns i motsvarande avsnitt.
Lösning av ekvationer
En ekvation är en likhet med en variabel (eller obekant). En ekvation med en variabel $x$ skrivs vanligtvis på följande allmänna form: $f(x) = g(x)$.
En lösning (eller rot) till en ekvation är ett sådant värde på variabeln, som gör att ekvationen blir en sann numerisk likhet. Att lösa en ekvation innebär att hitta alla dess lösningar eller bevisa att det inte finns några.
Så här löser du en ekvation med kalkylatorn: skriv först in delen av ekvationen före likhetstecknet =, tryck på knappen x=y, skriv in den resterande delen av ekvationen, tryck på knappen = för att utföra beräkningarna. Till exempel, för ekvationen $2x - 4 = 0$ är roten $x = 2$. Så här erhölls detta resultat med hjälp av ekvationskalkylatorn:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Linjära ekvationer
En linjär ekvation med en obekant är en ekvation av följande form:
$$ax + b = 0,$$
där
- $x$ är den obekanta,
- $a$ är koefficienten för den obekanta,
- $b$ är den fria termen i ekvationen.
Linjära ekvationer är den enklaste typen av algebraiska ekvationer, vars lösning endast kräver utförandet av enkla aritmetiska operationer.
Lösningsexempel:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadratiska ekvationer
En kvadratisk ekvation är en ekvation av följande form:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Lösning av kvadratiska ekvationer med hjälp av kalkylatorn:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Koefficientsrelationer
Det finns sådana kvadratiska ekvationer vars koefficienter står i förhållanden som gör det mycket enklare att lösa dessa ekvationer.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Rötterna till sådana ekvationer kan även hittas med hjälp av en vanlig kalkylator.
Diskriminanten
Diskriminanten används för att hitta rötterna till en kvadratisk ekvation. Formeln för beräkning av diskriminanten är:
$$D = b^2 - 4ac$$
Formeln för beräkning av rötterna med användning av diskriminanten:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Om $D > 0$, så har ekvationen två olika rötter. Till exempel:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Om $D = 0$, så har ekvationen en rot (eller två lika rötter). Till exempel:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Om $D < 0$, så har ekvationen inga rötter i mängden av reella tal:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vietas sats
Vietas sats etablerar enkla algebraiska samband (Vietas formler) mellan rötterna $x_1, x_2$ till en kvadratisk ekvation och dess koefficienter $a, b, c$. Genom att använda dessa formler kan man hitta rötterna om koefficienterna är kända, eller beräkna koefficienterna om rötterna är kända.
Vietas formler:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikvadratekvationer
En bikvadratisk ekvation är en ekvation av följande form:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Om man gör substitutionen $x^2$ med $y \ (y \ge 0)$, så erhålls en kvadratisk ekvation vars rötter $y_1, y_2$ kan hittas. Rötterna till den bikvadratiska ekvationen erhålls enligt följande:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubiska ekvationer
En kubisk ekvation är en ekvation av följande form:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Lösningsexempel:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Om den kubiska ekvationen divideras med $a$ och $x$ ersätts med $y - \frac {b} {3a}$, så tar den följande enklare form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
där
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardanos formel
Om den kubiska ekvationen har följande form:
$$y^3 + py + q = 0,$$
så kan Cardanos formel användas för att hitta rötterna till denna ekvation:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$