Matriskalkylatorn
Med hjälp av denna kalkylator kan du utföra addition, subtraktion eller multiplikation av matriser, samt beräkna determinanten av en matris. För att utföra de nödvändiga beräkningarna, tryck på knapparna i tur och ordning som anges under exemplet i respektive avsnitt.
Transponering av en matris kan göras enkelt även utan kalkylator, följ bara den detaljerade instruktionen.
Vad är en matris i matematik
En matris är en rektangulär tabell med element (siffror, symboler eller uttryck), bestående av $m$ rader och $n$ kolumner. Varje matriselementet ligger på korsningen av en viss rad och kolumn.
En matris betecknas vanligtvis med en versal bokstav, till exempel $A$. Enskilda matriselelement betecknas med hjälp av index, till exempel $a_{12}$ - elementet som ligger i första raden och andra kolumnen.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Matrisens storlek betecknas som $m \times n$. Till exempel kommer en matris av storleken $3 \times 4$ att ha 3 rader och 4 kolumner. Antalet element i matrisen kan beräknas genom att multiplicera $m$ med $n$ på en vanlig räknare: $3 \cdot 4 = 12$.
Addition och subtraktion av matriser
Addition och subtraktion av matriser är operationer där motsvarande matriselelement adderas eller subtraheras. Det är nödvändigt att matriserna har samma storlek, det vill säga att de har samma antal rader och kolumner.
Exempel på addition av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Exempel på subtraktion av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplikation av matriser
Multiplikation av två matriser är en operation för att beräkna en ny matris, som kallas matrisprodukt. Varje element i denna matris är lika med summan av produkterna av elementen i motsvarande rad i den första matrisen och kolumnen i den andra matrisen. För att multiplicera matriser måste antalet kolumner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen.
Exempel på multiplikation av matriser:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinanten av en matris
Determinanten av en matris ($det(A)$ eller $|A|$) är en storhet som karakteriserar egenskaperna hos en kvadratisk matris.
Exempel på beräkning av determinanten (det måste matas in i det tomma fältet under kalkylatorn, använd tangentbordet på din dator):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transponering av en matris
Transponering är en operation där raderna och kolumnerna i den ursprungliga matrisen byter plats, det vill säga raderna blir kolumner och kolumnerna blir rader. Om $A$ är den ursprungliga matrisen, betecknas den transponerade matrisen som $A^T$. Om den ursprungliga matrisen $A$ har storleken $m \times n$, kommer den transponerade matrisen $A^T$ att ha storleken $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
För att få den transponerade matrisen $A^T$, måste raderna och kolumnerna i den ursprungliga matrisen $A$ byta plats. För att göra detta måste följande steg utföras.
Ta elementen i första raden från $a_{11}$ till $a_{1n}$ och skriv dem som den första kolumnen i den transponerade matrisen $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Ta elementen i andra raden från $a_{21}$ till $a_{2n}$ och skriv dem som den andra kolumnen i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Upprepa detta steg för alla rader i matrisen $A$, tills de har skrivits som kolumner i $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Således motsvarar elementen $a^T_{ij}$ i den transponerade matrisen $A^T$ elementen $a_{ji}$ i den ursprungliga matrisen $A$.
Exempel på transponering av en matris:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$