เครื่องคิดเลขสมการ
ด้วยเครื่องคิดเลขนี้ คุณจะสามารถแก้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรือสมการกำลังสามออนไลน์ได้ สามารถหาตัวอย่างการคำนวณในส่วนที่เกี่ยวข้อง
การแก้สมการ
สมการคือความเท่ากันที่มีตัวแปร (หรือตัวไม่รู้คำตอบ) สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว $x$ จะมีรูปร่างทั่วไปเขียนได้ดังนี้: $f(x) = g(x)$
การแก้สมการ (หรือรากของสมการ) คือค่าของตัวแปรที่แปลงสมการให้กลายเป็นความเท่ากันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง แก้สมการหมายถึงการหารากทั้งหมดของสมการหรือพิสูจน์ว่าไม่มีรากเลย
วิธีการแก้สมการบนเครื่องคิดเลข: ก่อนอื่นให้ป้อนส่วนแรกของสมการจนถึงเครื่องหมายเท่ากับ = จากนั้นกดปุ่ม x=y แล้วป้อนส่วนที่เหลือของสมการ กดปุ่ม = เพื่อทำการคำนวณ ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ $2x - 4 = 0$ รากคือ $x = 2$ นี่คือวิธีที่ได้ผลลัพธ์ด้วยเครื่องคิดเลขสมการ:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นที่มีตัวไม่รู้คำตอบหนึ่งตัวเป็นสมการในรูปแบบดังนี้:
$$ax + b = 0,$$
ซึ่ง
- $x$ คือตัวไม่รู้คำตอบ
- $a$ คือสัมประสิทธิ์ของตัวไม่รู้คำตอบ
- $b$ คือค่าคงที่ของสมการ
สมการเชิงเส้นเป็นประเภทง่ายที่สุดของสมการพีชคณิต การแก้สมการเหล่านี้เพียงแค่ดำเนินการทางพีชคณิตอย่างง่ายเท่านั้น
ตัวอย่างการแก้:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองคือสมการในรูปแบบดังนี้:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
การแก้สมการกำลังสองบนเครื่องคิดเลข:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
สัดส่วนของสัมประสิทธิ์
มีสมการกำลังสองบางสมการที่สัมประสิทธิ์อยู่ในสัดส่วนที่ทำให้แก้สมการเหล่านั้นได้ง่ายขึ้นมาก
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
สามารถหารากของสมการเหล่านี้ได้ด้วยเครื่องคิดเลขธรรมดา
ดิสคริมิแนนต์
ดิสคริมิแนนต์ใช้สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง สูตรการคำนวณดิสคริมิแนนต์คือ
$$D = b^2 - 4ac$$
สูตรการหารากโดยใช้ดิสคริมิแนนต์คือ:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
ถ้า $D > 0$ สมการจะมีรากต่างกันสองรากตัวอย่างเช่น:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
ถ้า $D = 0$ สมการจะมีรากหนึ่งรากเท่านั้น (หรือสองรากที่เท่ากัน) ตัวอย่างเช่น:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
ถ้า $D < 0$ สมการจะไม่มีรากในเซตจำนวนจริง:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
ทฤษฎีบทของวีเยต
ทฤษฎีบทของวีเยตกำหนดความสัมพันธ์ทางพีชคณิตที่เรียบง่าย (สูตรของวีเยต) ระหว่างรากของสมการกำลังสอง $x_1, x_2$ และสัมประสิทธิ์ $a, b, c$ ของสมการนั้น โดยใช้สูตรเหล่านี้ สามารถหารากได้ถ้ารู้สัมประสิทธิ์ หรือคำนวณสัมประสิทธิ์ได้ถ้ารู้รากแล้ว
สูตรของวีเยต:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
สมการกำลังสี่
สมการกำลังสี่เป็นสมการในรูปแบบดังต่อไปนี้:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
หากทำการแทนที่ $x^2$ ด้วย $y \ (y \ge 0)$ จะได้สมการกำลังสองที่สามารถหาผลเฉลย $y_1, y_2$ ได้ ผลเฉลยของสมการกำลังสี่จะคือ:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
สมการกำลังสาม
สมการกำลังสามเป็นสมการในรูปแบบดังต่อไปนี้:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
ตัวอย่างการแก้สมการ:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
หากหารสมการกำลังสามด้วย $a$ และแทนที่ $x$ ด้วย $y - \frac {b} {3a}$ จะได้สมการในรูปแบบที่ง่ายขึ้นดังนี้:
$$y^3 + py + q = 0,$$
โดยที่
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
สูตรของคาร์ดาโน
หากสมการกำลังสามอยู่ในรูปแบบดังนี้:
$$y^3 + py + q = 0,$$
สามารถหาผลเฉลยของสมการนั้นได้โดยใช้สูตรของคาร์ดาโน:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$