Calculator ng Ecuacion
Sa tulong ng calculator na ito, mapaglulutas mo ang linear, kuwardratiko o kubiko na ecuacion online. Ang mga halimbawa ng pagkukomputá ay maaring matagpuan sa naaangkop na seksyon.
Paglutas ng mga Ecuacion
Ang ecuacion ay isang pagkakapantay-pantay na may nakalakip na baryable (o di-kilala). Ang ecuacion na may isang baryable $x$ sa pangkalahatang anyo ay karaniwang isinusulat sa ganitong paraan: $f(x) = g(x)$.
Tinatawag na solusyon (o ugat) ng ecuacion ang gayon balu’ng baryable na kapag ipinalit dito, nagiging totoong bilang pantay-pantay ang ecuacion. Lutasin ang ecuacion ay nangangahulugang mahanap ang lahat ng mga solusyon nito o patunayan na wala itong anumang solusyon.
Upang lutasin ang ecuacion sa calculator: Una, ilagay ang bahagi ng ecuacion bago ang tanda =, pindutin ang button na x=y, ilagay ang natitirang bahagi ng ecuacion, pindutin ang button na =, upang maisakatuparan ang mga pagkukomputá. Halimbawa, para sa ecuacion $2x - 4 = 0$ ang ugat ay $x = 2$. Narito kung paano nakuha ang resultang ito sa tulong ng calculator ng ecuacion:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Mga Linear na Ecuacion
Ang linear na ecuacion na may isang di-kilalala ay isang ecuacion sa sumusunod na anyo:
$$ax + b = 0,$$
kung saan
- $x$ - ang di-kilala,
- $a$ - ang koepesyent ng di-kilala,
- $b$ - ang malaya o kawalan ng termino ng ecuacion.
Ang mga linear na ecuacion ay pinakasinggelingbasikong uri ng mga algebraiko na ecuacion, na ang paglutas ay nakakatuon sa pagganap ng mga pamamaraang arimetiko.
Mga halimbawa ng paglutas:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Mga Cuadratico na Ecuacion
Tinatawag na kuwardratikong ecuacion ang sumusunod na uri ng ecuacion:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Paglutas ng mga kuwardratiko na ecuacion sa calculator:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Mga Relasyon ng mga Koepesyent
May mga kuwardratikong ecuaciox na may mga koepisyent na naroroon sa mga relasyon na nagpapahintulot sa paglutas ng mga ito sa mas simple paraan.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Ang mga ugat ng ganitong mga ecuacion ay maaring matagpuan gamit din ang ordinaryong calculator.
Diskriminant
Ginagamit ang diskriminant para sa paghahanap ng mga ugat ng kuwardratikong ecuacion. Ang pormula para sa pagkukomputá ng diskriminant ay:
$$D = b^2 - 4ac$$
Ang pormula para sa paghahanap ng mga ugat gamit ang diskriminant ay:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Kung $D > 0$, ang ecuacion ay may dalawang magkaibang ugat. Halimbawa:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Kung $D = 0$, ang ecuacion ay mayroong isang ugat (o dalawang magkaparehong ugat). Halimbawa:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Kung $D < 0$, walang anumang ugat ang ecuacion sa hanay ng tunay na mga bilang:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Teorema ni Vieta
Itinatag ng teorema ni Vieta ang mga simple algebraikong relasyon (mga pormula ni Vieta) sa pagitan ng mga ugat $x_1, x_2$ ng kuwardratikong ecuacion at ang mga koepesyent nito $a, b, c$. Sa pamamagitan ng paggamit ng mga pormulang ito, mapapaghahanap ang mga ugat kung kilala ang mga koepesyent, o mapapagkukomputá ang mga koepesyent kung kilala ang mga ugat.
Mga pormula ni Vieta:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Mga Bicuadratico na Ecuacion
Tinatawag na bicuadratico na ecuacion ang sumusunod na uri ng ecuacion:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Kung gagawin ang pag-aalis na $x^2$ para sa $y \ (y \ge 0)$, makukuha ang isang kuwardratikong ecuacion, na para sa ito ay maaring matagpuan ang mga ugat $y_1, y_2$. Nakakalap ng mga ugat ng isang bicuadratico na ecuacion ay sa ganitong paraan:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Mga Cubico na Ecuacion
Tinatawag na kubiko na ecuacion ang sumusunod na uri ng ecuacion:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Halimbawa ng paglutas:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Kung ang kubikong ecuacion ay makakalap na hinati sa $a$ at ipapalitan ang $x$ sa $y - \frac {b} {3a}$, ito ay makakakuha ng mas simpling anyo:
$$y^3 + py + q = 0,$$
kung saan
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Pormula ni Cardano
Kung ang kubikong ecuacion ay nasa ganitong anyo:
$$y^3 + py + q = 0,$$
upang makalap ang mga ugat ng ecuasyon na ito, mapapagamitan ang pormula ni Cardano:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$