Calculator ng Antegral
Sa tulong ng calculator na ito, maaari mong kalkulahin ang indefinite o definite na antegral. Maaaring matagpuan ang mga halimbawa ng pagkalkula sa naaangkop na seksyon.
Hindi mo kailangang kalkulahin ang ilang pangunahing antegrals, maari mo lamang hilahin ang antiderivative mula sa table.
Antiderivative
Ang antiderivative para sa function $f(x)$ ay isang ganoong function $F(x)$, kung saan ang derivative ay katumbas ng $f(x)$, ibig sabihin $F^{\prime}(x) = f(x)$. Ang paghahanap ng antiderivative ay isang operasyon na kabaligtaran sa pagdederivative.
Kung ang $F(x)$ ay ang antiderivative para sa $f(x)$, ang function $F(x) + C$, kung saan ang $C$ ay isang arbitraryong konstante, ay isa ring antiderivative para sa $f(x)$.
Indefinite Antegral
Ang indefinite antegral para sa function $f(x)$ ay isang koleksyon ng lahat ng mga antiderivative ng function na iyon. Ito ay minarkahan ng ganitong paraan:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
kung saan
- $\int$ — tanda ng antegral
- $f(x)$ — pinagmulan ng function
- $dx$ — elemento ng pagbabantegral
- $F(x)$ — antiderivative
- $C$ — konstante ng pagbabantegral
Ang operasyon ng paghahanap ng antegral ay tinatawag na pagbabantegral.
Mga Katangian
Ang pangunahing mga katangian ng indefinite antegral:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Mga Halimbawa ng Pagkalkula
Nakalista sa ibaba ang mga halimbawa ng pagkalkula ng indefinite antegrals. Upang isagawa ang mga pagkakalkulang ito sa calculator ng antegral, kinakailangan mong pindutin nang sunud-sunod ang mga button na nakalista sa ilalim ng bawat halimbawa. Paunawa: ipasok ang int sa walang laman na field sa ilalim ng screen ng calculator, gamit ang keyboard ng iyong computer.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Tabla ng Antegral
Ang table ng pangunahing indefinite antegrals at ang kasingkahulugang mga antiderivatives:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Definite Antegral
Kung $F(x)$ ay ang antiderivative para sa function $f(x)$, na natukoy at tuluy-tuloy sa interval $[a;b]$, ang definite antegral ay kinakalkula ayon sa formula:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Mga Katangian
Ang pangunahing mga katangian ng definite antegral:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Mga Halimbawa ng Pagkalkula
Nakalista sa ibaba ang mga halimbawa ng pagkalkula ng definite antegrals. Para isagawa ang mga pagkakalkulang ito sa calculator, kailangan mong pindutin nang sunud-sunod ang mga button na nakalista sa ilalim ng bawat halimbawa. Paunawa: ipasok ang int sa walang laman na field sa ilalim ng screen ng calculator, gamit ang keyboard ng iyong computer.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =