Denklem Hesaplayıcı
Bu hesaplayıcı ile doğrusal, ikinci dereceden veya üçüncü dereceden bir denklemi çevrimiçi olarak çözebilirsiniz. Hesaplama örneklerini ilgili bölümde bulabilirsiniz.
Denklem Çözümü
Bir denklem, bilinmeyenli (veya değişkenli) bir eşitliktir. Tek değişkenli $x$ ile genel bir denklem genellikle şu şekilde yazılır: $f(x) = g(x)$.
Bir denklemin çözümü (veya kökü), denklemin doğru sayısal bir eşitliğe dönüştüğü değişken değeridir. Bir denklemi çözmek, tüm çözümlerini bulmak veya hiç çözümünün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.
Denklem hesaplayıcıda denklemi çözmek için: Önce = işaretinden önceki kısmı girin, x=y düğmesine basın, denklemin kalan kısmını girin, hesaplamaları yapmak için = düğmesine basın. Örneğin, $2x - 4 = 0$ denkleminin kökü $x = 2$‘dir. İşte bu sonuç denklem hesaplayıcı kullanılarak nasıl elde edildi:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Doğrusal Denklemler
Tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem, şu şekildedir:
$$ax + b = 0,$$
burada
- $x$ bilinmeyendir,
- $a$ bilinmeyenin katsayısıdır,
- $b$ denklemin sabit terimidir.
Doğrusal denklemler en basit cebirsel denklem türüdür ve çözümleri basit aritmetik işlemlerin yapılmasına indirgenebilir.
Çözüm örnekleri:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
İkinci Dereceden Denklemler
İkinci dereceden bir denklem şu şekildedir:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Hesaplayıcıda ikinci dereceden denklemlerin çözümü:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Katsayı Oranları
Katsayıları, bu denklemlerin çok daha basit bir şekilde çözülmesine izin veren belirli oranlarda bulunan ikinci dereceden denklemler vardır.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Bu denklemlerin kökleri, normal bir hesaplayıcı kullanılarak da bulunabilir.
Diskriminant
Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kullanılır. Diskriminantın hesaplama formülü:
$$D = b^2 - 4ac$$
Diskriminant kullanılarak köklerin hesaplama formülü:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Eğer $D > 0$ ise, denklemin iki farklı kökü vardır. Örneğin:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Eğer $D = 0$ ise, denklemin bir kökü vardır (veya iki eşit kökü). Örneğin:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Eğer $D < 0$ ise, denklemin reel sayılar kümesinde kökü yoktur:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Viète Teoremi
Viète Teoremi, ikinci dereceden bir denklemin kökleri $x_1, x_2$ ile katsayıları $a, b, c$ arasında basit cebirsel ilişkiler (Viète formülleri) kurar. Bu formüller kullanılarak, katsayılar bilindiğinde kökler veya kökler bilindiğinde katsayılar hesaplanabilir.
Viète formülleri:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
İkinci Kuvvet Denklemler
İkinci kuvvet bir denklem şu şekildedir:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Eğer $x^2$ yerine $y \ (y \ge 0)$ ikamesi yapılırsa, bir ikinci dereceden denklem elde edilir ve bunun kökleri $y_1, y_2$ bulunabilir. İkinci kuvvet denklemin kökleri şu şekilde bulunur:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Üçüncü Dereceden Denklemler
Üçüncü dereceden bir denklem şu şekildedir:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Çözüm örneği:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Üçüncü dereceden bir denklem $a$‘ya bölünür ve $x$ yerine $y - \frac {b} {3a}$ ikamesi yapılırsa, denklem şu daha basit şekli alır:
$$y^3 + py + q = 0,$$
burada
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Cardano Formülü
Eğer üçüncü dereceden bir denklem şu şekildeyse:
$$y^3 + py + q = 0,$$
bu denklemin köklerini bulmak için Cardano formülü uygulanabilir:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$