Matris Hesaplayıcı
Bu hesaplayıcı ile matris toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerini gerçekleştirebilir ve bir matrisin determinantını hesaplayabilirsiniz. Gerekli hesaplamaları yapmak için, ilgili bölümdeki örneğin altında belirtilen düğmelere sırayla basmanız gerekir.
Matris transpozesini almak, hesaplayıcı kullanmadan, sadece ayrıntılı talimatları izleyerek kolayca yapılabilir.
Matematikte Matris Nedir
Bir matris, $m$ satır ve $n$ sütundan oluşan, sayılar, semboller veya ifadelerden oluşan dikdörtgen bir tablodur. Matrisin her bir öğesi, belirli bir satır ve sütunun kesişim noktasında yer alır.
Matrisler genellikle büyük harflerle gösterilir, örneğin $A$. Matrisin ayrı öğeleri ise indisler kullanılarak gösterilir, örneğin $a_{12}$ birinci satır ve ikinci sütundaki öğeyi temsil eder.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Matrisin boyutu $m \times n$ olarak gösterilir. Örneğin, $3 \times 4$ boyutundaki bir matris 3 satır ve 4 sütuna sahip olacaktır. Matristeki öğe sayısı, $m$ ile $n$‘yi hesap makinesinde çarparak bulunabilir: $3 \cdot 4 = 12$.
Matris Toplama ve Çıkarma
Matris toplama ve çıkarma, karşılık gelen öğelerin toplanması veya çıkarılması işlemlerine verilen isimlerdir. Bu işlemler için matrislerin boyutlarının aynı olması, yani aynı sayıda satır ve sütuna sahip olmaları gerekir.
Matris toplama örneği:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Matris çıkarma örneği:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Matris Çarpımı
İki matrisin çarpımı, yeni bir matris hesaplanması işlemidir ve bu matrise matris çarpımı denir. Bu yeni matrisin her bir öğesi, birinci matrisin ilgili satırındaki öğelerin, ikinci matrisin ilgili sütunundaki öğelerle çarpımlarının toplamına eşittir. Matrislerin çarpımı için, birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir.
Matris çarpımı örneği:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Matris Determinantı
Bir matrisin determinantı ($det(A)$ veya $|A|$), kare matrisin özelliklerini karakterize eden bir büyüklüktür.
Determinant hesaplama örneği (det ifadesini hesap makinesinin boş alanına, bilgisayarınızın klavyesini kullanarak girmeniz gerekir):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Matris Transpozu
Transpoz, orijinal matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirdiği, yani satırların sütun, sütunların ise satır haline geldiği bir işlemdir. $A$ orijinal matris olduğunda, transpose edilmiş matris $A^T$ olarak gösterilir. $A$ matrisi $m \times n$ boyutundaysa, $A^T$ matrisi $n \times m$ boyutunda olacaktır.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
$A^T$ transpose matrisini elde etmek için, $A$ matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirmesi gerekir. Bunun için aşağıdaki adımları izleyiniz.
$A$ matrisinin ilk satırındaki $a_{11}$ ile $a_{1n}$ arası öğeleri alın ve $A^T$ transpose matrisinin ilk sütununa yazın:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
$A$ matrisinin ikinci satırındaki $a_{21}$ ile $a_{2n}$ arası öğeleri alın ve $A^T$‘nin ikinci sütununa yazın:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Bu adımı $A$ matrisinin tüm satırları $A^T$‘nin sütunlarına yazılıncaya kadar tekrarlayın:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Böylece, $A^T$ transpose matrisinin $a^T_{ij}$ öğeleri, $A$ matrisinin $a_{ji}$ öğelerine karşılık gelir.
Matris transpozu örneği:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$