Web 2.0 scientific calculator

معادلہ کیلکولیٹر

اس کیلکولیٹر کی مدد سے آپ لینیر، مربع یا کیوبک معادلہ آن لائن حل کر سکتے ہیں۔ حسابات کی مثالیں متعلقہ حصے میں دریافت کی جا سکتی ہیں۔

معادلات کو حل کرنا

معادلہ ایک ایسی مساوات ہے جس میں ایک متغیر (یا نامعلوم) ہوتا ہے۔ ایک متغیر $x$ کا معادلہ عام طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے: $f(x) = g(x)$۔

معادلے کا حل (یا جڑ) ایسی متغیر کی قیمت ہے جس سے معادلہ ایک درست عددی مساوات بن جاتا ہے۔ معادلہ کو حل کرنا کا مطلب ہے اس کے تمام حل نکالنا یا ثابت کرنا کہ کوئی حل نہیں ہے۔

کیلکولیٹر پر معادلہ کو حل کرنے کا طریقہ: پہلے = کے نشان سے پہلے معادلے کا حصہ درج کریں، x=y بٹن دبائیں، باقی معادلہ درج کریں، حساب لگانے کے لیے = بٹن دبائیں۔ مثال کے طور پر، معادلے $2x - 4 = 0$ کی جڑ $x = 2$ ہے۔ کیلکولیٹر معادلات کی مدد سے یہ نتیجہ اس طرح حاصل ہوا:

$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$

2 x - 4 x=y 0 =

لینیر معادلات

ایک نامعلوم کا لینیر معادلہ اس قسم کا ہوتا ہے:

$$ax + b = 0,$$

جہاں

  • $x$ نامعلوم ہے،
  • $a$ نامعلوم کا ضریب ہے،
  • $b$ معادلے کا آزاد حصہ ہے۔

لینیر معادلات جبری معادلات کی سادہ ترین قسم ہیں، جن کا حل سادہ حسابی عملیات کو انجام دینے تک محدود ہے۔

حل کی مثالیں:

$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$

4 x - 1 6 x=y 0 =


$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$

3 x + 2 x=y 6 - x =

مربع معادلات

مربع معادلہ اس قسم کا ہوتا ہے:

$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

کیلکولیٹر پر مربع معادلات کو حل کرنا:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$

4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =


$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$

x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =


$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$

x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =

ضرائب کے تناسب

ایسے مربع معادلات بھی ہیں جن کے ضرائب ایسے تناسب میں ہیں جو ان معادلات کو کہیں زیادہ آسانی سے حل کرنا ممکن بناتے ہیں۔

$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$


$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$

ایسے معادلات کی جڑیں کیلکولیٹر کی مدد سے بھی نکالی جا سکتی ہیں۔

ڈسکرائمینینٹ

کوائڈریٹک معادلے کی جڑوں کو ڈھونڈنے کے لیے ڈسکرائمینینٹ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ ڈسکرائمینینٹ کی شکل کا حساب:

$$D = b^2 - 4ac$$

ڈسکرائمینینٹ کے استعمال سے جڑوں کی شکل:

$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$

اگر $D > 0$، تو معادلے کی دو مختلف جڑیں ہوں گی۔ مثال کے طور پر:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$

اگر $D = 0$، تو معادلے کی ایک جڑ ہوگی (یا دو ایک جیسی جڑیں)۔ مثال کے طور پر:

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$

اگر $D < 0$، تو معادلے کی حقیقی اعداد کے بھیت پر کوئی جڑ نہیں ہوگی:

$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$

ویٹا تھیورم

ویٹا تھیورم کوائڈریٹک معادلے $x_1, x_2$ کی جڑوں اور اس کے کوافیشینٹس $a, b, c$ کے درمیان ساده جبری تناسب (ویٹا فارمولے) قائم کرتا ہے۔ ان فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، آپ جڑیں تلاش کر سکتے ہیں اگر کوافیشینٹس معلوم ہوں، یا کوافیشینٹس کا حساب لگا سکتے ہیں اگر جڑیں معلوم ہوں۔

ویٹا فارمولے:

$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$

بائی کوائڈریٹک معادلے

بائی کوائڈریٹک معادلہ ایک ایسا معادلہ ہے جس کی شکل یہ ہے:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

اگر $x^2$ کی جگہ $y \ (y \ge 0)$ رکھ دیں، تو ایک کوائڈریٹک معادلہ مل جائے گا جس کی جڑیں $y_1, y_2$ نکالی جا سکتی ہیں۔ بائی کوائڈریٹک معادلے کی جڑیں اس طرح نکالی جاتی ہیں:

$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$

کیوبک معادلے

کیوبک معادلہ ایک ایسا معادلہ ہے جس کی شکل یہ ہے:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

حل کرنے کا مثال:

$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$

x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =

اگر کیوبک معادلے کو $a$ پر تقسیم کیا جائے اور $x$ کی جگہ $y - \frac {b} {3a}$ رکھ دیا جائے، تو وہ اس بہت ہی آسان شکل میں آ جائے گا:

$$y^3 + py + q = 0,$$

جہاں

$y = x + \frac {b} {3a}$,

$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,

$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.

کارڈانو فارمولا

اگر کیوبک معادلہ اس شکل میں ہو:

$$y^3 + py + q = 0,$$

تو اس معادلے کی جڑیں نکالنے کے لیے کارڈانو فارمولا کا استعمال کیا جا سکتا ہے:

$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$