میٹرکس کیلکولیٹر
اس کیلکولیٹر کی مدد سے آپ میٹرسز کا اضافہ، گھٹاؤ یا ضرب کر سکتے ہیں، اور میٹرکس کے ڈیٹرمیننٹ کی گھنی کر سکتے ہیں۔ ضروری حسابات انجام دینے کے لیے، آپ کو متعلقہ حصے میں مثال کے نیچے درج بٹنوں پر لگاتار دبانا ہوگا۔
میٹرکس کو ٹرانسپوز کرنا آسان ہے، صرف تفصیلی ہدایات کا استعمال کریں کیلکولیٹر کے بغیر۔
ریاضی میں میٹرکس کیا ہے
میٹرکس ایک آرتھوگونل ٹیبل ہے جس میں $m$ قطاریں اور $n$ کالم ہوتے ہیں۔ میٹرکس کے ہر عنصر کی کوائنیٹ کسی خاص قطار اور کالم کے اشتراک میں ہوتی ہے۔
میٹرکس کو عام طور پر کپیٹل حروف سے نشان زد کیا جاتا ہے، جیسے $A$۔ میٹرکس کے علیحدہ عناصر کو فرضی نمبروں کی مدد سے نشان زد کیا جاتا ہے، جیسے $a_{12}$ پہلی قطار اور دوسرے کالم میں واقع عنصر ہے۔
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
میٹرکس کے سائز کو $m \times n$ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $3 \times 4$ سائز کی میٹرکس میں 3 قطاریں اور 4 کالم ہوں گے۔ میٹرکس میں عناصر کی تعداد معلوم کرنے کے لیے، آپ $m$ کو $n$ سے ضرب کریں اور عام کیلکولیٹر کا استعمال کریں: $3 \cdot 4 = 12$۔
میٹرسز کا جمع اور گھٹاؤ
میٹرسز کا جمع اور گھٹاؤ ایسی عملیات ہیں جن میں متناظر عناصر جمع یا گھٹائے جاتے ہیں۔ اس کے لیے ضروری ہے کہ میٹرسز کا سائز ایک جیسا ہو، یعنی ان میں قطاروں اور کالموں کی یکساں تعداد ہو۔
میٹرسز کے جمع کی مثال:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
میٹرسز کے گھٹاؤ کی مثال:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
میٹرسز کا ضرب
دو میٹرسز کا ضرب - ایک نئی میٹرکس کو حساب کرنے کی ایک عمل ہے جسے میٹرسز کا پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ اس میٹرکس کا ہر عنصر پہلی میٹرکس کی متعلقہ قطار اور دوسری میٹرکس کے متعلقہ کالم میں عناصر کے پروڈکٹس کے اجتماع کے برابر ہوتا ہے۔ میٹرسز کے ضرب کے لیے یہ ضروری ہے کہ پہلی میٹرکس میں کالموں کی تعداد دوسری میٹرکس میں قطاروں کی تعداد کے برابر ہو۔
میٹرسز کے ضرب کی مثال:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ
میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ ($det(A)$ یا $|A|$) کچھ خصوصیات ہیں جو ایک چوکور میٹرکس کو بیان کرتی ہیں۔
ڈیٹرمیننٹ حساب کرنے کی مثال (det کو کیلکولیٹر اسکرین کے نیچے خالی جگہ میں اپنے کمپیوٹر کی کی بورڈ کا استعمال کرتے ہوئے درج کرنا ضروری ہے):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
میٹرکس کا ٹرانسپوزیشن
ٹرانسپوز ایک عمل ہے جس میں اصل میٹرس کی قطاریں اور ستون آپس میں بدل جاتے ہیں، یعنی قطاریں ستون بن جاتی ہیں اور ستون قطاریں۔ اگر $A$ اصل میٹرس ہے، تو ٹرانسپوز شدہ میٹرس کو $A^T$ سے نشان دیا جاتا ہے۔ اگر اصل میٹرس $A$ کا سائز $m \times n$ ہے، تو ٹرانسپوز شدہ میٹرس $A^T$ کا سائز $n \times m$ ہوگا۔
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
ٹرانسپوز شدہ میٹرس $A^T$ حاصل کرنے کے لیے، اصل میٹرس $A$ کی قطاروں اور ستونوں کو آپس میں بدلنا ہوگا۔ اس کے لیے مندرجہ ذیل اقدامات کرنے ہوں گے۔
پہلی قطار کے عناصر $a_{11}$ سے $a_{1n}$ تک لیں اور ان کو ٹرانسپوز شدہ میٹرس $A^T$ کے پہلے ستون کے طور پر لکھیں:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
دوسری قطار کے عناصر $a_{21}$ سے $a_{2n}$ تک لیں اور ان کو $A^T$ کے دوسرے ستون کے طور پر لکھیں:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
اس عمل کو تمام قطاروں کے لیے دہرائیں جب تک کہ وہ $A^T$ کے ستون کے طور پر نہ لکھ دی جائیں:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
اس طرح، ٹرانسپوز شدہ میٹرس $A^T$ کے عناصر $a^T_{ij}$ اصل میٹرس $A$ کے عناصر $a_{ji}$ کے برابر ہوں گے۔
میٹرس کے ٹرانسپوز کا مثال:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$