Tenglamalar kalkulyatori
Ushbu kalkulyator yordamida siz chiziqli, kvadrat yoki kubik tenglamani onlayn yechishingiz mumkin. Hisoblashlar misollarini tegishli bo’limdan topishingiz mumkin.
Tenglamalarni yechish
Tenglama – bu o’zgaruvchili (yoki noma’lum) tenglikdir. Umumiy ko’rinishda $x$ o’zgaruvchili tenglama odatda quyidagicha yoziladi: $f(x) = g(x)$.
Tenglamaning yechimi (yoki ildizi) deb, tenglama to’g’ri raqamli tenglikka aylanuvchi o’zgaruvchi qiymatiga aytiladi. Tenglamani yechish – uning barcha yechimlarini topish yoki ularning yo’qligini isbotlashdan iborat.
Tenglamani kalkulyatorda qanday yechish: avvalo = belgunchasini qismini kiritish, x=y tugmasini bosish, tenglamaning qolgan qismini kiritish, hisoblashni amalga oshirish uchun = tugmasini bosish. Masalan, $2x - 4 = 0$ tenglamaning ildizi $x = 2$. Qanday qilib tenglamalar kalkulyatori yordamida ushbu natija olingan:
$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$
2 x - 4 x=y 0 =
Chiziqli tenglamalar
Chiziqli tenglama bir noma’lumli – quyidagi ko’rinishdagi tenglamalardir:
$$ax + b = 0,$$
bu yerda
- $x$ – noma’lum,
- $a$ – noma’lum oldidagi koeffitsient,
- $b$ – tenglama erkin hadlari.
Chiziqli tenglamalar oddiy algebraik tenglamalar turidan bo’lib, ularni yechish oddiy arifmetik amallarni bajarishga keladi.
Yechish misollar:
$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$
4 x - 1 6 x=y 0 =
$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$
3 x + 2 x=y 6 - x =
Kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamalardir:
$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Kvadrat tenglamalarni kalkulyatorda yechish:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$
4 x x2 - 6 x
+ 2 x=y 0 =
$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$
x x2 - 3 x - 4 x=y 0 =
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$
x x2 - 4 x + 4 x=y 0 =
Koeffitsientlar nisbatlari
Bunday kvadrat tenglamalar mavjudki, ularning koeffitsientlari ushbu tenglamalarni ancha yengil yechish imkonini beruvchi nisbatlarga egadir.
$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$
$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$
Bunday tenglamalarning ildizlarini oddiy kalkulyator yordamida ham topish mumkin.
Diskriminant
Diskriminant kvadrat tenglamaning ildizlarini topishda qo’llaniladi. Diskriminantni hisoblash formulasi:
$$D = b^2 - 4ac$$
Diskriminantdan foydalangan holda ildizlarni hisoblash formulasi:
$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$
Agar $D > 0$ bo’lsa, tenglama ikki har xil ildizga ega. Masalan:
$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$
Agar $D = 0$ bo’lsa, tenglama bitta ildizga ega (yoki ikki barobar ildizga ega). Masalan:
$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$
Agar $D < 0$ bo’lsa, tenglama haqiqiy sonlar to’plamida ildizga ega emas:
$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$
Vieta teoremasi
Vieta teoremasi kvadrat tenglama $x_1, x_2$ ildizlari va uning $a, b, c$ koeffitsientlari o’rtasidagi oddiy algebraik munosabatlarni (Vieta formulalarini) o’rnatadi. Ushbu formulalardan foydalanib, koeffitsientlar ma’lum bo’lganida ildizlarni topish yoki ildizlar ma’lum bo’lganida koeffitsientlarni hisoblash mumkin.
Vieta formulalari:
$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$
Bikavadrat tenglamalar
Bikavadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamalardir:
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Agar $x^2$ ning o’rniga $y \ (y \ge 0)$ ni qo’ysak, u holda ildizlari $y_1, y_2$ bo’lgan kvadrat tenglama hosil bo’ladi. Bikavadrat tenglamaning ildizlari quyidagicha aniqlanadi:
$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$
Kubik tenglamalar
Kubik tenglama quyidagi shakldagi tenglamalardir:
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$
Yechish misollar:
$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$
x x3 - 6 x x2 - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =
Agar kubik tenglamani $a$ ga bo’lsak va $x$ ning o’rniga $y - \frac {b} {3a}$ ni qo’ysak, u holda u quyidagi oddiyroq shaklga keladi:
$$y^3 + py + q = 0,$$
bu yerda
$y = x + \frac {b} {3a}$,
$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,
$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.
Kardano formulasi
Agar kubik tenglama quyidagi shaklda bo’lsa:
$$y^3 + py + q = 0,$$
u holda ushbu tenglamaning ildizlarini topish uchun Kardano formulasini qo’llash mumkin:
$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$