Matritsalar kalkulyatori
Ushbu kalkulyatordan foydalanib, siz matritsalarni qo’shish, ayirish yoki ko’paytirish, shuningdek matritsaning determinantini hisoblashingiz mumkin. Kerakli hisob-kitoblarni bajarish uchun mos bo’lim ostida ko’rsatilgan tugmalarni ketma-ket bosish kerak.
Matritsani transponirlashni hatto kalkulyatorsiz ham oson amalga oshirish mumkin, buning uchun batafsil yo’riqnomadan foydalaning.
Matematikada matritsa nima
Matritsa — bu m qator va n ustundan iborat bo’lgan qanday elementlardan (raqamlar, belgilar yoki ifodalardan) iborat bo’lgan to’g’ri to’rtburchakli jadval. Matritsaning har bir elementi ma’lum bir qator va ustunning kesishmasida joylashgan.
Oddatda, matritsa bosh harf, masalan, $A$ bilan belgilanadi. Matritsaning alohida elementlari indeks yordamida, masalan, $a_{12}$ — birinchi qatorda va ikkinchi ustunda joylashgan element bilan belgilanadi.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Matritsaning o’lchami $m \times n$ ko’rinishida belgilanadi. Masalan, $3 \times 4$ o’lchamli matritsa 3 qator va 4 ustundan iborat bo’ladi. Matritsadagi elementlar sonini $m$ ni $n$ ga ko’paytirish orqali kalkulyatordan foydalanib topish mumkin: $3 \cdot 4 = 12$.
Matritsalarni qo’shish va ayirish
Matritsalarni qo’shish va ayirish — bu matritsalarning mos elementlari qo’shiladigan yoki ayiriladigan amallar. Shu bilan birga, matritsalarning o’lchami, ya’ni qator va ustunlar soni bir xil bo’lishi kerak.
Matritsalarni qo’shish misolisi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Matritsalarni ayirish misolisi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Matritsalarni ko’paytirish
Ikki matritsani ko’paytirish — bu yangi matritsani, ya’ni matritsalar ko’paytmasini hisoblash amali. Ushbu matritsaning har bir elementi birinchi matritsaning mos qatoridagi elementlarning ikkinchi matritsaning mos ustunidagi elementlariga ko’paytirilgan yig’indisiga teng bo’ladi. Matritsalarni ko’paytirish uchun birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchi matritsadagi qatorlar soniga teng bo’lishi kerak.
Matritsalarni ko’paytirish misolisi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Matritsaning determinanti
Matritsaning determinanti ($det(A)$ yoki $|A|$) — bu kvadrat matritsaning xususiyatlarini tavsiflaydi.
Determinantni hisoblash misolisi (det ni kalkulyator ekranining tagidagi bo’sh maydonchaga kompyuteringiz klaviaturasi yordamida kiritish kerak):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Matritsani transponirlash
Transponirlash — bu amal boshqa matritsaning qator va ustunlarini almashtirish, ya’ni qatorlar ustunlarga, ustunlar esa qatorlarga aylanadi. Agar $A$ boshqa matritsa bo’lsa, u holda transponirlanganma matritsa $A^T$ shaklida belgilanadi. Agar $A$ boshqa matritsa $m \times n$ o’lchamiga ega bo’lsa, u holda $A^T$ transponirlanganma matritsa $n \times m$ o’lchamga ega bo’ladi.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
$A^T$ transponirlanganma matritsani olish uchun $A$ boshqa matritsaning qator va ustunlarini almashtirish kerak. Buning uchun quyidagilarni bajarish zarur.
$A$ boshqa matritsaning birinchi qatoridagi $a_{11}$ dan $a_{1n}$ gacha bo’lgan elementlarni olib, $A^T$ transponirlanganma matritsaning birinchi ustuni sifatida yozish kerak:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
$A$ boshqa matritsaning ikkinchi qatoridagi $a_{21}$ dan $a_{2n}$ gacha bo’lgan elementlarni olib, $A^T$ ning ikkinchi ustuni sifatida yozish kerak:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
$A$ boshqa matritsaning barcha qatorlari $A^T$ ning ustonlari sifatida yozilguncha bu amallarni takrorlash kerak:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Shunday qilib, $A^T$ transponirlanganma matritsaning $a^T_{ij}$ elementlari $A$ boshqa matritsaning $a_{ji}$ elementlariga mos keladi.
Matritsani transponirlash misolisi:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$