Máy tính phương trình

Với máy tính này, bạn có thể giải phương trình tuyến tính, bậc hai hoặc bậc ba trực tuyến. Các ví dụ tính toán có thể được tìm thấy trong phần tương ứng.

Giải phương trình

Phương trình là phép bằng với biến số (hoặc ẩn số). Phương trình với một biến số $x$ dưới dạng tổng quát thường được viết như sau: $f(x) = g(x)$.

Nghiệm (hoặc căn) của phương trình là giá trị của biến số làm cho phương trình trở thành một phép bằng số đúng đắn. Giải phương trình nghĩa là tìm tất cả nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm.

Để giải phương trình trên máy tính: đầu tiên nhập phần phương trình trước dấu =, nhấn nút x=y, nhập phần còn lại của phương trình, nhấn nút = để thực hiện tính toán. Ví dụ, cho phương trình $2x - 4 = 0$ nghiệm là $x = 2$. Đây là cách kết quả này đã được nhận được bằng cách sử dụng máy tính phương trình:

$$2x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 2$$

2 x - 4 x=y 0 =

Phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính với một ẩn số là phương trình có dạng sau:

$$ax + b = 0,$$

ở đó

$x$ là ẩn số,
$a$ là hệ số của ẩn số,
$b$ là hằng số tự do của phương trình.

Các phương trình tuyến tính là loại đơn giản nhất của các phương trình đại số, việc giải chúng chỉ đơn giản là thực hiện các phép tính số học cơ bản.

Các ví dụ giải:

$$4x - 16 = 0 \\ \Downarrow \\ x = 4$$

4 x - 1 6 x=y 0 =

$$3x + 2 = 6 - x \\ \Downarrow \\ x = 1$$

3 x + 2 x=y 6 - x =

Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng sau:

$$ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

Giải phương trình bậc hai trên máy tính:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = 0.5$$

4 x x² - 6 x
+ 2 x=y 0 =

$$x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 4, \ x_2 = -1$$

x x² - 3 x - 4 x=y 0 =

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = 2$$

x x² - 4 x + 4 x=y 0 =

Tỷ lệ của các hệ số

Có những phương trình bậc hai mà các hệ số của nó có mối quan hệ đặc biệt, cho phép giải những phương trình này một cách đơn giản hơn nhiều.

$$a + b + c = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = 1, \ x_2 = \frac {c} {a}$$

$$a + c = b \\ \Downarrow \\ x_1 = -1, \ x_2 = - \frac {c} {a}$$

Nghiệm của những phương trình này cũng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng máy tính thông thường.

Định thức

Định thức được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Công thức tính định thức:

$$D = b^2 - 4ac$$

Công thức tính nghiệm sử dụng định thức:

$$x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt D} {2a}$$

Nếu $D > 0$, thì phương trình có hai nghiệm khác nhau. Ví dụ:

$$4x^2 - 6x + 2 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 4, \ b = -6, \ c = 2 \\ \Downarrow \\ D = (-6)^2 - 4 × 4 × 2 = 4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-6) \pm \sqrt 4} {2 × 4} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {6 + 2} {8} = 1, \ x_2 = \frac {6 - 2} {8} = 0.5$$

Nếu $D = 0$, thì phương trình có một nghiệm (hoặc hai nghiệm bằng nhau). Ví dụ:

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = -4, \ c = 4 \\ \Downarrow \\ D = (-4)^2 - 4 × 1 × 4 = 0 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-(-4) \pm \sqrt 0} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = x_2 = x = \frac {4 \pm 0} {2} = 2$$

Nếu $D < 0$, thì phương trình không có nghiệm trong tập hợp số thực:

$$x^2 + 4x + 5 = 0 \\ \Downarrow \\ a = 1, \ b = 4, \ c = 5 \\ \Downarrow \\ D = 6^2 - 4 × 1 × 5 = -4 \\ \Downarrow \\ x_{1,2} = \frac {-4 \pm \sqrt {-4}} {2 × 1} \\ \Downarrow \\ x_1 = \frac {-4 + 2i} {2} = -2 + i, \\ x_2 = \frac {-4 - 2i} {2} = -2 - i$$

Định lý Vieta

Định lý Vieta thiết lập các mối quan hệ đại số đơn giản (công thức Vieta) giữa các nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình bậc hai và các hệ số $a, b, c$ của nó. Bằng cách sử dụng những công thức này, ta có thể tìm nghiệm nếu biết các hệ số, hoặc tính các hệ số nếu biết các nghiệm.

Các công thức Vieta:

$$\begin {cases} x_1 + x_2 = - \dfrac {b} {a} \\ x_1 x_2 = \dfrac {c} {a} \end {cases}$$

Phương trình bình phương

Phương trình bình phương là phương trình có dạng sau:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

Nếu thay thế $x^2$ bằng $y \ (y \ge 0)$, ta sẽ có một phương trình bậc hai, cho phép tìm các nghiệm $y_1, y_2$. Nghiệm của phương trình bình phương được tìm như sau:

$$x_{1,2} = \pm \sqrt {y_1}, \ \ \ x_{3,4} = \pm \sqrt {y_2}$$

Phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba là phương trình có dạng sau:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \ \ \ (a \ne 0)$$

Ví dụ giải:

$$x^3 - 6x^2 - 31x + 120 = 0 \\ \Downarrow \\ x_1 = -5, x_2 = 3, x_3 = 8$$

x x³ - 6 x x² - 3 1 x
+ 1 2 0 x=y 0 =

Nếu phương trình bậc ba được chia cho $a$ và thay thế $x$ bằng $y - \frac {b} {3a}$, thì nó sẽ có dạng đơn giản hơn như sau:

$$y^3 + py + q = 0,$$

ở đó

$y = x + \frac {b} {3a}$,

$p = \frac {c} {a} - \frac {b^2} {3a^2} = \frac {3ac - b^2} {3a^2}$,

$q = \frac {2b^3} {27a^3} - \frac {bc} {3a^2} + \frac {d} {a} = \frac {2b^3 - 9abc + 27a^2d} {27a^3}$.

Công thức Cardano

Nếu phương trình bậc ba có dạng:

$$y^3 + py + q = 0,$$

thì để tìm nghiệm của phương trình này, ta có thể áp dụng công thức Cardano:

$$x = \sqrt[3] {- \frac {q} {2} + \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}} + \\ + \ \sqrt[3] {- \frac {q} {2} - \sqrt {\frac {q^2} {4} + \frac {p^3} {27}}}$$