Máy tính tích phân
Bằng cách sử dụng máy tính này, bạn có thể tính tích phân không xác định hoặc xác định. Ví dụ về các phép tính có thể được tìm thấy trong phần tương ứng.
Một số tích phân cơ bản có thể không cần phải tính, mà chỉ cần tìm nguyên hàm trong bảng.
Nguyên hàm
Nguyên hàm đối với hàm $f(x)$ là một hàm $F(x)$ mà đạo hàm của nó bằng $f(x)$, tức là $F^{\prime}(x) = f(x)$. Tìm nguyên hàm là một phép toán đảo ngược của phép vi phân.
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, thì hàm $F(x) + C$, với $C$ là một hằng số tùy ý, cũng là nguyên hàm của $f(x)$.
Tích phân không xác định
Tích phân không xác định của hàm $f(x)$ là tập hợp của tất cả các nguyên hàm của hàm đó. Nó được ký hiệu như sau:
$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$
trong đó:
- $\int$ — ký hiệu tích phân
- $f(x)$ — hàm đứng dưới dấu tích phân
- $dx$ — đối tượng tích phân
- $F(x)$ — nguyên hàm
- $C$ — hằng số tích phân
Phép tính tìm tích phân được gọi là tích phân hóa.
Tính chất
Các tính chất cơ bản của tích phân không xác định:
$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$
$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$
Ví dụ tính toán
Dưới đây là các ví dụ tính toán tích phân không xác định. Để thực hiện các phép tính này trên máy tính tích phân, bạn cần nhấn liên tiếp vào các nút được chỉ ra dưới mỗi ví dụ. Lưu ý: nhập int vào ô trống dưới màn hình máy tính, sử dụng bàn phím máy tính của bạn.
$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$
i n t ( x xy 3 ) =
$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$
i n t ( sin 7 x ) =
$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$
i n t ( x x^3 y , y ) =
Bảng tích phân
Bảng tích phân không xác định cơ bản và các nguyên hàm tương ứng:
| $\int f(x) dx$ | $F(x) + C$ |
|---|---|
| $$\int 0 \cdot dx$$ | $$C$$ |
| $$\int dx$$ | $$x + C$$ |
| $$\int x^n dx$$ | $$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$ |
| $$\int \frac {1} {x} dx$$ | $$\ln | x | + C$$ |
| $$\int e^x dx$$ | $$e^x + C$$ |
| $$\int a^x dx$$ | $$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$ |
| $$\int \cos x dx$$ | $$\sin x + C$$ |
| $$\int \sin x dx$$ | $$- \cos x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$ | $$\tg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$ | $$- \ctg x + C$$ |
| $$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$ | $$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$ |
| $$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$ | $$\arctg x + C$$ |
| $$\int \ch x dx$$ | $$\sh x + C$$ |
| $$\int \sh x dx$$ | $$\ch x + C$$ |
Tích phân xác định
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của hàm $f(x)$, được xác định và liên tục trên đoạn $[a;b]$, thì tích phân xác định được tính theo công thức:
$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$
Tính chất
Các tính chất cơ bản của tích phân xác định:
$$\int _a^a f(x) dx = 0$$
$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$
$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$
Ví dụ tính toán
Dưới đây là các ví dụ tính toán tích phân xác định. Để thực hiện các phép tính này trên máy tính, bạn cần nhấn liên tiếp vào các nút được chỉ ra dưới mỗi ví dụ. Lưu ý: nhập int vào ô trống dưới màn hình máy tính bằng bàn phím máy tính của bạn.
$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$
i n t ( 5 + x ,
x 2nd var 1 . . 3 2nd ) =
$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$
i n t ( x x2 ,
x 2nd var 5 . . 8 2nd ) =