Máy tính ma trận
Với máy tính này, bạn có thể cộng, trừ hoặc nhân ma trận, cũng như tính định thức của ma trận. Để thực hiện các phép tính cần thiết, bấm lần lượt các nút được chỉ định dưới ví dụ trong phần tương ứng.
Bạn có thể dễ dàng chuyển vị ma trận ngay cả không cần máy tính, chỉ cần làm theo hướng dẫn chi tiết.
Ma trận trong toán học là gì
Ma trận là một bảng chữ nhật chứa các phần tử (số, ký tự hoặc biểu thức) gồm $m$ hàng và $n$ cột. Mỗi phần tử của ma trận nằm tại giao điểm của một hàng và một cột nhất định.
Ma trận thường được ký hiệu bằng một chữ cái viết hoa, ví dụ $A$. Các phần tử riêng lẻ của ma trận được ký hiệu bằng các chỉ số, ví dụ $a_{12}$ là phần tử tại hàng thứ nhất và cột thứ hai.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Kích thước của ma trận được ký hiệu là $m \times n$. Ví dụ, một ma trận kích thước $3 \times 4$ sẽ có 3 hàng và 4 cột. Số lượng phần tử trong ma trận có thể được tính bằng cách nhân $m$ với $n$ trên máy tính thông thường: $3 \cdot 4 = 12$.
Cộng và trừ ma trận
Cộng và trừ ma trận là các phép tính trong đó các phần tử tương ứng của các ma trận được cộng hoặc trừ. Tuy nhiên, các ma trận phải có cùng kích thước, nghĩa là chúng phải có cùng số lượng hàng và cột.
Ví dụ về cộng ma trận:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ + \ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1+1 & 2+2 & 3+3 \\ 4+3 & 5+2 & 6+1 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Ví dụ về trừ ma trận:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ - \ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & 3-1 \\ 4-1 & 5-2 & 6-3 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Nhân ma trận
Nhân hai ma trận là phép tính để tạo ra một ma trận mới gọi là tích của các ma trận. Mỗi phần tử của ma trận tích này bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng trên hàng của ma trận thứ nhất với các phần tử tương ứng trên cột của ma trận thứ hai. Để nhân hai ma trận, số lượng cột của ma trận thứ nhất phải bằng số lượng hàng của ma trận thứ hai.
Ví dụ về nhân ma trận:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \cdot \ \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$ \ = \ \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{bmatrix} \ = \ $$
$$\ = \ \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix} $$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Định thức của ma trận
Định thức của ma trận ($det(A)$ hoặc $|A|$) là một giá trị đặc trưng cho các tính chất của ma trận vuông.
Ví dụ tính định thức (det phải được nhập vào ô trống dưới màn hình máy tính, sử dụng bàn phím của máy tính):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ -7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 204 $$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Chuyển vị ma trận
Chuyển vị là phép tính trong đó các hàng và cột của ma trận ban đầu được hoán đổi, nghĩa là các hàng trở thành cột và ngược lại. Nếu $A$ là ma trận ban đầu, thì ma trận chuyển vị được ký hiệu là $A^T$. Nếu ma trận ban đầu $A$ có kích thước $m \times n$, thì ma trận chuyển vị $A^T$ sẽ có kích thước $n \times m$.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Để nhận được ma trận chuyển vị $A^T$, bạn cần hoán đổi các hàng và cột của ma trận ban đầu $A$. Để làm điều này, hãy thực hiện các bước sau.
Lấy các phần tử từ hàng đầu tiên từ $a_{11}$ đến $a_{1n}$ và ghi chúng làm cột đầu tiên của ma trận chuyển vị $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix} $$
Lấy các phần tử từ hàng thứ hai từ $a_{21}$ đến $a_{2n}$ và ghi chúng làm cột thứ hai của $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} \end{bmatrix} $$
Lặp lại bước này cho tất cả các hàng của ma trận $A$, cho đến khi chúng được ghi làm các cột của $A^T$:
$$ A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
Do đó, các phần tử $a^T_{ij}$ của ma trận chuyển vị $A^T$ tương ứng với các phần tử $a_{ji}$ của ma trận ban đầu $A$.
Ví dụ về chuyển vị ma trận:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$