积分计算器

使用此计算器,您可以计算不定积分或定积分。可在相应部分找到计算示例。

一些基本积分可不再计算,而直接在表中找到原函数。

原函数

对于函数 $f(x)$,原函数是指导数等于 $f(x)$ 的函数 $F(x)$,即 $F^{\prime}(x) = f(x)$。求原函数是求导的逆运算。

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数,则 $F(x) + C$ 也是 $f(x)$ 的原函数,其中 $C$ 为任意常数。

函数 $f(x)$ 的不定积分是所有该函数原函数的集合。表示为:

$$\int f(x) dx = F(x) + C,$$

其中:

求积分的运算称为积分。

不定积分的主要性质:

$$\int a \cdot f(x) dx = \\ = a \cdot \int f(x) dx \ \ \ (a \ne 0)$$

$$\int (f(x) \pm g(x)) dx = \\ = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

下面是计算不定积分的示例。要在积分计算器上执行这些计算,需按照每个示例下方所指示的顺序点击按钮。注意:使用计算机键盘在计算器屏幕下方的空白区域输入 int。

$$\int x^3 dx = \frac {x^4} {4} + C$$

i n t ( x x^y 3 ) =

$$\int \sin 7x dx = - \frac {\cos 7x} {7} + C$$

i n t ( sin 7 x ) =

$$\int x^3 y dy = \frac {x^3 y^2} {2} + C$$

i n t ( x x^3 y , y ) =

基本不定积分及对应原函数的表格:

$\int f(x) dx$	$F(x) + C$
$$\int 0 \cdot dx$$	$$C$$
$$\int dx$$	$$x + C$$
$$\int x^n dx$$	$$\frac {x^{n + 1}} {n + 1} + C \ \ \ (n \ne -1)$$
$$\int \frac {1} {x} dx$$	$$\ln \| x \| + C$$
$$\int e^x dx$$	$$e^x + C$$
$$\int a^x dx$$	$$\frac {a^x} {\ln a} + C \ \ \ (a > 0, a \ne 1)$$
$$\int \cos x dx$$	$$\sin x + C$$
$$\int \sin x dx$$	$$- \cos x + C$$
$$\int \frac {dx} {\cos^2 x}$$	$$\tg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sin^2 x}$$	$$- \ctg x + C$$
$$\int \frac {dx} {\sqrt {1 - x^2}}$$	$$\begin{gathered} \arcsin x + C_1 = \\ = - \arccos x + C_2 \\ (C_2 = \frac {\pi} {2} + C_1) \end{gathered}$$
$$\int \frac {dx} {1 + x^2}$$	$$\arctg x + C$$
$$\int \ch x dx$$	$$\sh x + C$$
$$\int \sh x dx$$	$$\ch x + C$$

如果 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a;b]$ 上定义且连续的原函数,则定积分计算公式为:

$$\int _a^b f(x) dx = F(x) \mid _a^b = F(b) - F(a)$$

定积分的主要性质:

$$\int _a^a f(x) dx = 0$$

$$\int _a^b f(x) dx = - \int _b^a f(x) dx$$

$$\int _a^b f(x) dx = \int _a^c f(x) dx + \\ + \int _c^b f(x) dx \ \ \ (c \in [a;b])$$

下面是计算定积分的示例。要在计算器上执行这些计算,需按照每个示例下方所指示的顺序点击按钮。注意:使用计算机键盘在计算器屏幕下方的空白区域输入 int。

$$\int _1^3 (5 + x) dx = 14$$

i n t ( 5 + x ,
x 2^nd var 1 . . 3 2^nd ) =

$$\int _5^8 x^2 dx = 129$$

i n t ( x x² ,
x 2^nd var 5 . . 8 2^nd ) =